Mathematica

ہمیشہ سے ریاضیات میں پیدا ہونے والے فلسفیانہ مسائل کے حل کے لیے کئی ممکنہ طریقے موجود رہے ہیں تجربیت، افلاطونی حقائق کا نظریہ، عقلیت، وجدانیت، صُوریت، اور ان کے درمیان بہت سے درمیانی راستے۔ جو کچھ ہم نے دیکھا ہے، اس کی بنیاد پر یہ توقع کی جا سکتی ہے کہ انیسویں صدی کے جرمن ریاضی دانوں میں فلسفیانہ خیالات کا اثر زیادہ تھا، اور اُن میں اپنے غیر ملکی ہم منصبوں کے مقابلے میں زیادہ قیاسی  رجحانات پائے جاتے تھے۔ اس رجحان کی چند دلچسپ ابتدائی مثالیں جن پر یہاں تفصیل سے گفتگو نہیں کی جائے گی  بولزانُو اور کُمّر کی ہیں۔ مگر ہمارے مقصد کے لیے زیادہ اہم بات یہ ہے کہ فلسفے کے اثر نے انیسویں صدی کے  جرمنی میں عقلیت کے   مکتبِ فکر میں اضافہ کیا۔ عمانوئیل کانٹ ۱۷۲۴ تا ۱۸۰۴ کانٹ کے فلسفے کو ہمیشہ سائنس دانوں کے لئے ہیگل کے مطلق العنان نظریۂ خیال  کی نسبت زیادہ مناسب سمجھا گیا ہے۔ اسی لئے یہ بات تعجب خیز نہیں کہ ہیگل کے عروج کے زمانے میں بھی اور اس کے بعد بھی کانٹ کا فلسفہ اہلِ علم کے درمیان ایک اہم مقام رکھتا رہا۔ کانٹ کا ایک نمایاں نظریہ یہ ہے کہ فاعلِ ادراک  دن...

گوٹفرائیڈ وِلہلم لائبنِز ١٦٤٦ء تا ۱۷۱٦ء ریاضیات کی کلیت کو یکساں وحدت میں برتنے کی مختلف کوششوں خواہ ہم  افلاطون ،  ڈیکارٹ  یا  لائبنِز  کے بارے میں سوچیں، یا پھر عدد سازی یا انیسویں صدی کی منطقیت کا تصور کریں میں یہ مشترکہ خصوصیت پائی جاتی ہے کہ وہ سب کچھ یا کم و بیش وسیع الدائرہ فلسفیانہ نظام کے ساتھ وابستہ رہے ہیں؛ اور ہمیشہ ریاضیات کے خارجی دنیا اور خیال کی دوہری کائنات کے ساتھ تعلق کے حوالے سے قبل تجربی نظریات سے نقطہ آغاز حاصل کیا ہے۔¹ ریاضیاتی علم کی نشوونما کو سمجھنے کے لیے کبھی کبھار ریاضیاتی سوچ کے مکاتب فکر کے کردار کی شناخت اور اس پر غور کرنا اہم ہو جاتا ہے۔ ایسا مکتب فکر عمومًا ایک بنیادی فلسفہ رکھتا ہے جس سے میری مراد ریاضی کے حوالے سے رویوں کا ایک مجموعہ ہے۔ کسی مکتب فکر کے ارکان اس بات پر مشترکہ نقطہ نظر رکھتے ہیں کہ کس قسم کی ریاضی کے تعاقب کے قابل ہے یا زیادہ عمومی طور پر، اس انداز پر جس میں یا اس روح کے ساتھ جس میں ریاضیاتی مسائل کی تحقیق کی جانی چاہیے۔² جیسا کہ موجودہ کام کے متن میں واضح ہوگا، انیسویں صدی کی جرمن ریاضی میں ایک مخصوص رجحان، یع...

خوسے فیرےرِیروس (اُندلس) نظریۂ طاقِم کے عروج سے متعلق حالیہ تاریخی کاموں میں سے اکثر کا تذکرہ نگارانہ انداز کا حامل ہے۔ یقینًا تاریخ کے ساتھ سوانحی اسلوب کے اپنے مضبوط پہلو ہیں، لیکن اس کی کمزوریاں بھی ہیں۔ کسی ایک مصنف پر ضرورت سے زیادہ توجہ مرکوز کرنے کے اثر، یا محض ہم آہنگی پیدا کرنے کی کوشش کے نتیجے میں جانب داری سے بچنا بہت مشکل ہو جاتا ہے۔¹ پہلے کی گفتگو سے یہ واضح ہونا چاہیے کہ موجودہ مصنف نے ایک کم متمرکز تاریخی علاج ایک اجتماعی اسلوب کو اختیار کیا ہے۔ یہ تقریبًا خود واضح ہے کہ عظیم سائنسی خدمات اجتماعی کام ہوتی ہیں، اور نظریۂ طاقم اور ریاضی کے ساتھ طاقِم نظریاتی اسلوب کا عروج اس کا مستثنیٰ نہیں ہے۔ حصہ اول و دوم میں، مصنفین کے ایک چھوٹے گروہ کے کام کا باریک اسلوب کو مدِنظر رکھ کر مطالعہ کیا گیا ہے، اور ان کی رجحانات کی خاصیات کا تجزیہ مقابل مکاتب فکر یا اسالیب کے موازنے کے ذریعے پیش کیا گیا ہے۔ غیر رسمی مراسلات (ذاتی رابطے، خط و کتابت) پر بھی تقریبًا اتنی ہی توجہ دی گئی ہے جتنی مطبوعات پر۔ اس طرح، اثرات کے سوال مرکزی اہمیت اختیار کر گئے ہیں، اگرچہ میں تسلیم کرتا ہوں کہ ا...

نظریۂ طاقِم کی روایتی تاریخ نگاری نے جدید ریاضیات کی ترقی سے متعلق کئی غلط فہمیاں مزید مضبوط کر دی ہیں۔ کانتور  کے کام پر حد سے زیادہ توجہ دینے کے نتیجے میں یہ نتیجہ اخذ کیا گیا کہ نظریۂ طاقِم کا آغاز تجزیے کی ضروریات سے ہوا یہی مفروضہ [گراٹن-گؤینس ۱۹۸۹] کے عنوان میں بھی ظاہر ہوتا ہے۔اس نقطۂ آغاز سے یہ تاثر پیدا ہوتا ہے کہ بیسویں صدی کے اوائل میں جب نظریۂ طاقِم کا طریقِ کار الجبرا، ہندسہ، اور ریاضیات کی دیگر تمام شاخوں میں کامیابی سے لاگو ہوا، تو یہ دراصل بعد کی پیش رفت تھی۔  یوں یہ نئے رجحانات  کانتور کی فکری تخلیق کی غیر متوقع کامیابیاں دکھائی دیتی ہیں، جن کی سب سے واضح صورت بورباکی    میں دیکھی جا سکتی ہے [ میسچکوسکی  ۱۹۶۷, ۲۳۲–۳۳]۔  اس کے برعکس، موجودہ تحقیق یہ ظاہر کرے گی کہ انیسویں صدی کے دوسرے نصف میں طواقِم کی علامت نگاری، الجبرا کے نئے تصورات، حساب کی بنیادوں، اور حتیٰ کہ ہِندسہ کے ابھرتے ہوئے نظریات کے لیے نہایت اہم کردار ادا کر رہی تھی۔ مزید یہ کہ یہ تمام پیش رفتیں کانتور  کے ابتدائی نظریۂ طاقِم سے متعلق تحقیقات سے پہلے ک...

جیورج کانتور ۱۸۴۵ء تا ۱۹۱۸ء تصورِ طاقِم کا قصّہ جو لامُتناہیت اور تسلسل کی بھول بھلیّے سے متعلق ایک "خیال" ہے۔ بعض اوقات اس انداز سے بیان کیا جاتا ہے کہ وہ کسی خوبصورت اساطیر کی یاد دلاتا ہے۔ یونانی دیوی ایتھینا جو زیوس کی پیشانی سے پوری طرح بالغ اور زرہ بکتر سے لیس نمودار ہوئی وہی اس کی سب سے پسندیدہ اولاد تھی۔ تصورِ طاقِم کو عام طور پر ایک ہی شخص، جارج کانتور ، کی تخلیق سمجھا جاتا ہے، جس نے اکیلے ہی ایک ایسی بنیادی علمی شاخ قائم کی جو جدید ریاضی کی ساخت پر گہرا اثر ڈال چکی ہے۔ وہ اپنی تخلیق سے اس قدر محبت کرنے لگا کہ اس کی زندگی اسی میں گُتھ گئی یہاں تک کہ اسی کے سبب ذہنی اذیت کا شکار ہوا۔ تصور اور دیوی کے درمیان یہ مشابہت دوسرے پہلوؤں سے بھی دلچسپ ہے۔  ایتھینا ایک کنواری دیوی تھی، جب کہ نظریۂ طاقِم اپنی پاکیزگی اور تجریدیت میں عددی نظریہ کے مشابہ ہے۔ وہ حکمت اور شہری ریاست کی دیوی تھی، اور نظریۂ طاقِم  جدید مرکزی ریاضیات کے اس فکری شہر میں تنظیمی کردار ادا کرتی ہے، نیز یہ ریاضیاتی حکمت کی اعلیٰ ترین کامیابیوں میں سے ایک کی نمائندگی کرتی ہے۔ وہ جنگ کی دیوی بھی ت...