Mathematica

باب دوم منفی مقداریں۔ متشابہ حدود کا جمع ١٩. طالبِ علم اپنے حسابی کام میں + اور - کی علامتوں سے جڑی عددی مقداروں کو حل کرنے کا عادی رہا ہے اور جب وہ  𝟏¾ + 𝟕⅔ - 𝟑⅛ + 𝟔 - 𝟒⅕  جیسی کسی عبارت کی قیمت معلوم کرتا ہے، تو وہ بخوبی سمجھتا ہے کہ جن مقداروں سے پہلے + کی علامت لگی ہے وہ زائد (ایڈیٹیو) ہیں، اور جن کے پہلے - کی علامت ہے وہ ناقص (سبٹریکٹیو) ہیں، جب کہ پہلی مقدار  𝟏¾ جس سے پہلے کوئی علامت نہیں ہے، زائد حدود میں شمار ہوتی ہے۔ یہی مفہوم جبر میں بھی کارفرما ہے چنانچہ عبارت  𝟕𝑎 + 𝟑𝑏 - 𝟒𝑐 - 𝟐𝑑 کو استعمال کرتے ہوئے ہم سمجھتے ہیں کہ علامات  𝟕𝑎 ∧ 𝟑𝑏  زائد ہیں، جب کہ  𝟒𝑐 ∧ 𝟐𝑑 ناقص ہیں۔ ٢٠. لیکن علمِ حساب (ارِتھمیٹک) میں زائد حدود کا مجموعہ ہمیشہ ناقص حدود کے مجموعے سے بڑا ہوتا ہے اور اگر صورتِ حال اس کے برعکس ہو تو حاصل ہونے والے نتیجے کا کوئی حسابی مفہوم نہیں رہتا۔ تاہم، جبر (الجبرا) میں نہ صرف یہ کہ ناقص حدود کا مجموعہ زائد حدود کے مجموعے سے بڑھ سکتا ہے، بلکہ ایک ناقص حد اکیلی قائم رہ کر بھی مکمل طور پر قابلِ فہم مفہوم رکھ سکتا ہے۔لہٰذا...

الجبر باب اَوَّل؛ تعریفات اور تعویضات ١. جبر مقداروں پر اسی طرح بحث کرتا ہے جس طرح علمِ حساب (آرِتھمیٹکس) کرتا ہے، مگر اس (الجبر) میں عمومیت زیادہ ہوتی ہے۔ کیونکہ جہاں حسابی عمل میں استعمال ہونے والی مقداروں کو ہندسوں کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے جن کی ایک متعین قیمت ہوتی ہے، وہیں جبری مقداریں علامتوں سے ظاہر کی جاتی ہیں جن کی کوئی بھی ایسی قیمت ہو سکتی ہے جو ہم ان کے لیے مقرر کرنا چاہیں۔ مقدار کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہونے والی علامتیں عُمُومًا ہمارے اپنے حروفِ تہجی کے حروف ہوتے ہیں اور اگرچہ اس بات کی کوئی قید نہیں ہے کہ کوئی علامت کس عددی قیمت کی نمائندگی کرے، لیکن یہ بات مفہوم ہوتی ہے کہ کام کے ایک ہی سلسلے میں وہ پوری طرح ایک ہی قیمت پر قائم رہتی ہے۔ لہٰذا، جب ہم یہ کہتے ہیں کہ "فرض کیجیے الف، 𝟏 کے برابر ہے"، تو اس سے یہ مراد نہیں ہوتی کہ الف کی قیمت ہمیشہ 𝟏 ہی رہے گی، بلکہ صرف اس خاص مثال میں جو اس وقت ہمارے زیرِ غور ہے۔ مزید برآں، ہم علامتوں پر کوئی مخصوص عددی قیمت عائد کیے بغیر بھی ان پر عمل کر سکتے ہیں در اصل جبر کا تعلق بنیادی طور پر ایسے ہی اعمال سے ہے۔ ہم جبر کی...