Mathematica

یہ بارہا لکھا جا چکا ہے کہ ارسطوئی "لامُتناہی کا خوف" سائنسدانوں اور ریاضی دانوں میں کانتور کے مضبوط دفاع تک راج رہا جس میں اسے قبول کرنے کے امکان اور ضرورت پر زور دیا گیا۔ دوسرے انتہائی بیانات کی طرح یہ بات تاریخی امتحان میں پوری نہیں اترتی۔ کم از کم جرمنی میں، اور شاید یہاں قومی فرق کی بات سمجھ میں آتی ہے، حقیقی لامُتناہی کو قبول کرنے کا ایک واضح رجحان موجود تھا۔ فلسفیانہ ماحول اس سے زیادہ سازگار نہیں ہوسکتا تھا، اور لا متناہی کے ریاضیاتی نظریات تیار کرنے کی متعدد کوششیں ہوئیں۔ ہم فلسفے سے آغاز کریں گے، پھر کچھ ریاضی دانوں کے نظریات پر غور کریں گے۔ انیسویں صدی کے جرمنی میں فلسفیانہ رجحانات کی تاریخ حقیقی لا متناہی کے بارے میں کافی طویل ہے۔ صدی کے آغاز میں، علمیاتی فلسفہ کے دور میں، ریاضیاتی ممکنہ لامتناہی کو ہیگل اور اس کے پیروکاروں نے "بری لامُتناہی" کا نام دیا تھا۔ اشارہ واضح تھا: ایک 'اچھی' لامُتناہی موجود تھی جو اعلیٰ ترین معنوں میں حقیقی ہے، فلسفیانہ لامُتناہی، مطلق۔ صدی کے دوران یہ نظریہ زور پکڑتا گیا؛ ریاضی دانوں میں، اسٹائنر اور کمَر بہترین مثالیں ...

ڈیوڈ ہیوم ١٧١١ء تا ١٧٧٦ء عظیم برطانوی تجربیت پسند ہیوم نے اپنے علمیاتی کاموں میں تجربی علم کی خطا پذیری پر زور دیا۔ شاید اسی لیے کانٹ کا ایک بنیادی پیش فرض یہ ہے کہ جو چیز قطعی طور پر یقینی ہو وہ تجربی نہیں بلکہ صرف موضوع کی ذہنی ساخت پر مبنی ہونی چاہیے۔ ضروری سچائی، بشمول ریاضیاتی سچائی، لازمًا قبل تجربی ہونی چاہیے: حقیقی ریاضیاتی دعوے ہمیشہ قبل تجربی، تجربی نہیں، بلکہ ایسے احکام ہوتے ہیں جن میں ضرورت پائی جاتی ہے، جو تجربے سے حاصل نہیں ہو سکتی۔¹ جیسا کہ ہم نے دیکھا ہے، کانٹ دنیا کو موضوع میں ایک تمثیل کے طور پر دیکھتا تھا، جو جزوی طور پر "اشیائے فی نفسہٗ" سے ملنے والے تاثرات سے، اور جزوی طور پر موضوع کی حسیّت اور تصوّری صلاحیتوں کی قبل تجربی خصوصیات سے متعین ہوتی ہے۔ جیسا کہ معلوم ہے، زمان و مکان کو بیرونی دنیا کی خصوصیات نہیں بلکہ ہماری حسیّت یا ادراک کی قبل تجربی شکلیں سمجھا گیا، جو ہماری دنیا کی تمثیل کو قطعی ضرورت کے ساتھ متعین کرتی ہیں۔ ریاضیات ان نتائج کو ترقی دیتی ہے جنہیں قبل تجربی یا خالص ادراک سے اخذ کیا جا سکتا ہے؛ یہ ہماری ادراکی شکلوں، یعنی زمان و مکان کے اندر ...