٣. مسئلۂ لامُتناہی

یہ بارہا لکھا جا چکا ہے کہ ارسطوئی "لامُتناہی کا خوف" سائنسدانوں اور ریاضی دانوں میں کانتور کے مضبوط دفاع تک راج رہا جس میں اسے قبول کرنے کے امکان اور ضرورت پر زور دیا گیا۔ دوسرے انتہائی بیانات کی طرح یہ بات تاریخی امتحان میں پوری نہیں اترتی۔ کم از کم جرمنی میں، اور شاید یہاں قومی فرق کی بات سمجھ میں آتی ہے، حقیقی لامُتناہی کو قبول کرنے کا ایک واضح رجحان موجود تھا۔ فلسفیانہ ماحول اس سے زیادہ سازگار نہیں ہوسکتا تھا، اور لا متناہی کے ریاضیاتی نظریات تیار کرنے کی متعدد کوششیں ہوئیں۔ ہم فلسفے سے آغاز کریں گے، پھر کچھ ریاضی دانوں کے نظریات پر غور کریں گے۔

انیسویں صدی کے جرمنی میں فلسفیانہ رجحانات کی تاریخ حقیقی لا متناہی کے بارے میں کافی طویل ہے۔ صدی کے آغاز میں، علمیاتی فلسفہ کے دور میں، ریاضیاتی ممکنہ لامتناہی کو ہیگل اور اس کے پیروکاروں نے "بری لامُتناہی" کا نام دیا تھا۔ اشارہ واضح تھا: ایک 'اچھی' لامُتناہی موجود تھی جو اعلیٰ ترین معنوں میں حقیقی ہے، فلسفیانہ لامُتناہی، مطلق۔ صدی کے دوران یہ نظریہ زور پکڑتا گیا؛ ریاضی دانوں میں، اسٹائنر اور کمَر بہترین مثالیں ہیں۔ فطرت کا فلسفہ بھی لامُتناہی کے مسئلہ سے بھرا پڑا تھا۔ یہاں سوال عام طور پر یہ فیصلہ کرنے کی شکل اختیار کرتا تھا کہ آیا مکان اور زمان محدود ہیں یا لامُتناہی، یا آیا مادی کائنات سادہ عناصر سے بنی ہے یا نہیں۔ یہ پہلا اور دوسرا "تعارض" ہے جس پر کانٹ نے اپنی کتاب "تنقید عقل محض" [1787, 455 – 471] میں بحث کی ہے۔ بعد کے فلسفیوں نے اس مسئلے کو اٹھایا، مثلاً ضدعلمیاتی مفکر ہربارٹ نے، جنہیں ریمان نے فلسفہ میں اپنا مرشد بنایا (لا متناہی پر ان کے خیالات کے لیے §11.4.2 ملاحظہ کریں)۔¹

ہربرٹ کے کام میں ایک خاصیت نظر آتی ہے جو اس وقت کے جرمن فلسفے کی نمایاں خصوصیت رہی ہوگی لائبنِز کے خیالات سے اخذ کردہ عناصر کا ادغام، جسے علمیاتی فکر نے بھی فروغ دیا۔ اور لائبنِز، وہ حقیقی لا متناہی کے حامی تھے۔

میں حقیقی لا متناہی کا اتنا حامی ہوں کہ، اس عام کہاوت کے برعکس کہ "فطرت لامُتناہی سے گھن کرتی ہے"، میں اس بات کو قائم رکھتا ہوں کہ فطرت ہر جگہ اسے بروئے کار لاتی ہے تاکہ اپنے خالق کی کمالات کو بہتر طور پر ظاہر کر سکے۔ اس لیے میرا خیال ہے کہ مادے کا کوئی ایسا حصہ نہیں جو، میں نہیں کہتا قابل تقسیم ہو، بلکہ حقیقتاً تقسیم شدہ نہ ہو؛ اور نتیجتاً مادے کے ذرے کو بے شمار مختلف مخلوقات سے بھری ہوئی ایک کائنات کے طور پر دیکھا جانا چاہیے۔²

یقینًا، یہ لائبنِز کا تمام تحریروں میں موقف نہیں رہا،³ لیکن یہی وہ حیثیت ہے جو ان کی "مونادولوجی" کی داخلی روح اور بیانات کی خصوصیت ہے، ایک ایسا کام جس نے کائنات کے تصور کو سادہ مابعدالطبیعیاتی اکائیوں سے بنا ہوا پیش کیا [لائبنِز 1714, §§ 57, 64-67]۔ لائبنِز کے احیاء کے دور میں، "مونادولوجی" کے خیالات نے نئی زندگی پائی۔ ہربرٹ نے "حقیقی" نامی سادہ اکائیوں کی ایک وجودیات ترتیب دی، جو لائبنِز کی مونادوں کی یاد دلاتی ہے؛ طبیعیات دان اور فلسفی فیخنر نے ایک لائبنِزیائی "نظریہ جوہر" [1864] کی وکالت کی، جو کچھ حد تک فعلیات دان اور فلسفی لوتزے کے مشہور کام "مائیکروکاسموس" [1856/64] جیسا تھا۔ جیسا کہ قاری دیکھ سکتا ہے، اب ہم ان مصنفین کی بات کر رہے ہیں جو سائنسی برادری میں کافی بااثر تھے۔ درحقیقت، یہاں تک کہ کانتور نے بھی فیخنر اور لوتزے جیسے نظریات کا دفاع کیا [1932, 275 - 276]؛ اس نے فیراڈے، ایمپیئر اور ولہیلم ویبر کو اپنے پیش رو کے طور پر حوالہ دیا۔

دلچسپ بات یہ ہے کہ لائبنِز کے خیالات ہمارے زیرِ مطالعہ تمام اہم مصنفین میں پائے جاتے ہیں۔ ریمان ہربرٹ سے گہرا متاثر تھے، اور نفسیات اور طبیعیات پر ان کے تحریری ٹکڑے ہمیں ایسے نظریات پیش کرتے ہیں جو مونادولوجی کے مصنف سے کافی قریب ہیں۔ ریمان (اور ہربرٹ) لائبنِز کے اس تصور کے حامی دکھائی دیتے ہیں جس میں مکان کو اشیا کی 'ہم موجودگی کا نظام' سمجھا جاتا ہے۔ اس کے علاوہ ریمان کی ترجیح قابلِ ذکر ہے جو نیوٹنی فاصلے پر عمل کے بجائے مادی پلینم اور براہِ راست رابطے کے عمل کی فرضیہ کی حمایت کرتی ہے۔⁴ ان کے دوست ڈیڈیکِنڈ بھی اس فرضیہ کے حامی تھے، جیسا کہ انہوں نے ہائنرش ویبر کے ساتھ خط و کتابت کے ایک اہم حصے میں واضح کیا۔

جہاں تک میرا تعلق ہے، میں مکمل طور پر مادے کے تسلسل سے خلا کی پرکردگی اور کششِ ثقل اور روشنی کے مظاہر کی [ریمانی] تشریح کا حامی ہوں... ریمان نے یہ خیالات کافی پہلے اپنا لیے تھے، نہ کہ اپنے آخری سالوں میں... بلاشک، ان کی کوششیں میکانیات کے سب سے عام اصولوں کو ایک نئے تصور پر استوار کرنے کی جانب تھیں، جو انہیں بالکل ترک نہیں کرنا تھے، بلکہ فطرت کی تشریح کے لیے زیادہ فطری بنیاد فراہم کرنا تھا۔ خود کے تحفظ کی جدوجہد اور حالتوں میں تبدیلیوں کا فوری زمانی و مکانی ماحول پر انحصار جو جزوی تفریقی مساوات میں ظاہر ہوتا ہے کو اصلی سمجھا جانا چاہیے، نہ کہ ماخوذ۔ کم از کم، میرے خیال میں ان کا منصوبہ یہی تھا... بدقسمتی سے، یہ سب کچھ اتنا ٹکڑوں میں بکھرا ہوا ہے!⁵

ڈیڈیکِنڈ کا قدرتی اعداد کے بارے میں ابتدائی نقطہ نظر، ان کے مجموعات کے بنیادی نظریے کی خصوصیات، اور یہاں تک کہ ان کی ریاضیاتی منطق پسندی کا موقف بھی لائبنِز کے نظریات سے مربوط نظر آتے ہیں۔ رہا کانتور کا معاملہ، تو وہ بارہا لائبنِز کے فلسفے میں گہری دلچسپی کا اظہار کرتے رہے، خصوصًا فطرت کا ایک نیا، عضویاتی نفسیاتی نظریہ وضع کرنے کی کوشش سے ان کی وابستگی واضح تھی۔⁶

ری مین، ڈیڈیکِنڈ اور کانتور کے ورنہ مختلف خیالات میں یہ مشترکہ خصوصیت لا متناہی کے تئیں ان کے رویے کی وضاحت میں مدد کر سکتی ہے۔ لائبنِز کی مونادولوجی کے اثرات اہم عوامل میں سے ایک ہو سکتے ہیں جنہوں نے انہیں حقیقی لا متناہی کو قبول کرنے پر مجبور کیا۔ ایک اور اہم عامل، بلاشبہ، ریاضیاتی خیالات کی خود ترقی تھی، مثلًا (حالانکہ صرف یہی نہیں) حسابان کی بنیادوں میں۔ اس سے ہم جرمن ریاضی دانوں میں حقیقی لا متناہی کے تئیں رویوں کے مسئلے پر پہنچتے ہیں۔

کانتور کے حوالے [1886, 371] کے بعد سے، حقیقی لامتناہی کے انکار کی مثال کے طور پر ریاضی کے شہزادے گاؤس کے شوماخر کو 1831 کے خط کا ایک اقتباس پیش کیا جاتا ہے۔ شوماخر نے اقلیدسی متوازی مفروضے کی ایک ثبوت کی کوشش بھیجی تھی، جس پر گاؤس نے جواب دیا

لیکن، آپ کے ثبوت کے حوالے سے، میں سب سے پہلے ایک لامُتناہی مقدار کے استعمال پر اعتراض کرتا ہوں جیسے کہ وہ مکمل ہو، جو ریاضی میں کبھی بھی جائز نہیں ہے۔ لامُتناہی محض ایک بولنے کا انداز ہے، جب ہم دراصل حدود کی بات کر رہے ہوتے ہیں جن کی طرف کچھ تعلقات جتنا مرضی قریب آسکتے ہیں، جب کہ دوسروں کو بے حد بڑھنے کی اجازت ہوتی ہے۔⁷

یہ دلیل دی گئی ہے کہ یہ بیانات ایک خاص مقصد رکھتے تھے اور انہیں نظریۂ طاقِم میں لامُتناہی کے خلاف استعمال نہیں کیا جا سکتا [واٹر ہاؤس 1979]۔ شوماخر نے صرف میریالوجی کی بنیاد پر لامتناہی میں ہندسی اشکال کے رویے کے بارے میں کچھ مفروضے بنائے تھے، اور گاؤس، غیر اقلیدسی ہندسہ کے اپنے علم کی روشنی میں، ایسے غیر مستند مفروضوں پر احتجاج کر رہے تھے۔ تاہم، گاؤس کے بیانات واضح اور عام ہیں: وہ حدود کے نظریے کو ایک نمونے کے طور پر لیتے ہیں، جسے ممکنہ لامتناہی کی اصطلاح میں سمجھا جاتا ہے۔ دوسری طرف، کچھ مصنفین نے اشارہ کیا ہے کہ گاؤس بعض اوقات ایسے لامتناہی تصورات استعمال کرتے ہیں جو اوپر والے اقتباس سے یکسر مسترد نظر آتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ان کی تفریقی ہندسہ، ریمان کی طرح، مشکل ہی سے لامتناہی ریاضی کے علاوہ کسی اور طور پر سمجھی جا سکتی ہے (دیکھیے لاؤگ وٹز [کونِگ 1990, 26] میں)۔

بہر حال، ہمارے لیے اہم بات یہ ہے کہ گاؤس اس دور کے واحد ریاضی دان نہیں تھے۔ دیگر لوگوں نے زیادہ جرأت مندانہ موقف اختیار کیا۔ 1788 میں ہی یوہان شلٹز، جو کانٹ کے دوست اور ماہر الہیات و ریاضی دان تھے، نے لامُتناہی عظیم کا ریاضیاتی نظریہ وضع کیا۔ ایک بہت اہم شراکت، جو افسوسناک طور پر اپنے زمانے میں کم ہی جانی گئی، فلسفی، ماہر الہیات اور ریاضی دان بولزانو کی تھی، نہ صرف ان کی "پیراڈوکسین ڈیس انفنٹلیچن" (لامُتناہی کے مفارقات؛1851) میں بلکہ اس سے قبل "علمیاتی نظریہ" (علم کا نظریہ، 1837) میں بھی۔ بولزانو نے طاقِم کے تصور کو متعدد مختلف معنوں میں متعارف کرایا: عام طور پر وہ طواقِم یا تصور کی توسیعات کے بارے میں بات کرتے تھے، لیکن انہوں نے ان طواقِم کو نمایاں کیا جن میں عناصر کی ترتیب غیر مخصوص ہوتی ہے، اور ان میں سے وہ طاقِم جس کے عناصر اکائیوں پر مشتمل ہوں، یعنی "کثرتیں"۔ لامُتناہی کی تعریف اس طرح کی گئی: ایک کثرت لامُتناہی ہے اگر وہ کسی بھی متناسب کثرت سے بڑی ہو، یعنی اگر کوئی بھی متناسب طاقِم اس کا محض ایک حصہ ہو۔ بولزانو نے حقیقی لامُتناہی کا زوردار دفاع کیا، یہ دکھاتے ہوئے کہ لامُتناہی کے "مفارقات" میں کوئی تضاد نہیں ہے، اور انہوں نے متناسب طواقِم کا ایک نظریہ وضع کرنے کی کوشش کی۔

یہ بات قابل توجہ ہے کہ انیسویں صدی کی کئی ریاضیاتی ترقیات 'لامُتناہی پر نقطہ' اور 'لامُتناہی پر خط' جیسے تصورات کو قبول کرنے پر منحصر تھیں۔ کانتور خود نے بھی ایسے ہی سابقہ نمونوں کا ذکر کیا جب انہوں نے ماورائے متناظر عددی اعداد متعارف کرائے تھے۔ یہ بات خصوصًا تصویری ہندسہ میں واضح ہوئی، جس نے پوری صدی میں ہندسی سوچ پر مرکزی کردار ادا کیا۔ بعض اوقات لامتناہی عناصر کا تعارف محض ایک اوزاری اقدام ہو سکتا تھا جس کا حقیقی لامتناہی کی قبولیت سے کوئی تعلق نہ تھا، لیکن جیسا کہ ہم اسٹائنر کی مثال میں دیکھیں گے، کبھی یہ اقدام ان عبارات کے ساتھ ہوا جو صراحتًا حقیقی لامُتناہی کو متعارف کراتی تھیں۔ ایک اور مثال ریمان کا تفاعلی نظریہ ہے۔ ۱۸۵۷ میں انہوں نے ایک 'نقطہ بہ لامتناہی' کے ذریعے مستوی مرکب کو 'مکمل' کرنے کا قدم اٹھایا، اس طرح اسے ایک بند سطح میں تبدیل کر دیا، جس سے عمومی نتائج تک سادہ راستے سے پہنچنا ممکن ہو سکا۔⁷

یعقوب اسٹائنر، ترکیبی ہندسہ کے عظیم نمائندے، حقیقی لا متناہی کے حامی نظر آتے ہیں۔ مزید برآں، انہوں نے ایسے تصورات متعارف کرائے جو طاقِم اور ترسیلات کی زبان کے کافی واضح سابقہ نمونے ہیں۔ اسٹائنر برلن میں پروفیسر تھے، اور اس طرح ڈرچلِٹ اور بعد میں یاکوبی کے ساتھی تھے۔ ہم ان کے اہم کام پر غور کریں گے، جس کا طویل عنوان ہے: "ہندسی اشکال کی باہمی انحصاری کی مربوط ترقی"۔ اس کام کی پہلی خصوصیت جو توجہ مبذول کراتی ہے وہ استعمال کی گئی زبان ہے، جو نئے انسانیات اور مثالیت پسندی سے گہری مشابہت رکھتی ہے۔ دیباچے میں، اسٹائنر اشارہ کرتے ہیں کہ ان کا مقصد کچھ نظریات ثابت کرنے سے آگے بڑھ کر "عضوی طور پر باہم جڑا ہوا کل"، "عضویہ" دریافت کرنا ہے جو نتائج کی کثرت کو معنی فراہم کرتا ہے۔ ان کا ہدف ہندسی ترتیبات کی تشکیل اور ان کی خصوصیات کی نشوونما میں "وہ راستہ تلاش کرنا ہے جس پر فطرت چلتی ہے"۔ اسٹائنر کی "نظام" اور "عضویہ" کی بات کا موازنہ، مثلًا، ضمیمہ ۱ میں نقل کردہ ولف کے الفاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ یہ مماثلت ریاضی دانوں، فلسفیوں اور ادیبوں کے درمیان خیالات کی آزاد رو کی عکاسی کرتی ہے، جو اسٹائنر کے معاملے میں بالکل واضح ہے، کیونکہ ان کے جوانی کے سالوں میں وہ مشہور سوئس معلم پیسٹالوزی کے مدرسہ میں استاد تھے۔

ہمارے موجودہ مقاصد کے لیے زیادہ دلچسپ بات یہ مشاہدہ کرنا ہے کہ اسٹائنر نے خط، سطح، خطوط کے دستے وغیرہ کو لامتناہی عناصر کے طاقِم کے طور پر کیسے پیش کیا۔ ارسطو اور ممکنہ لامتناہی کے دیگر باشعور حامیوں نے احتیاط سے اس اقدام سے گریز کیا تھا۔ یہ بات قابل غور ہے کہ یہ بالخصوص اسٹائنر جیسے مصنفین تھے، جو نئے انسانیات اور فلسفیانہ خیالات کے قریب تھے، جنہوں نے ایک سازگار فکری سیاق میں اس پابندی کو توڑا۔ اسٹائنر کہتے ہیں کہ ایک سیدھی خط میں کوئی "ان گنت تعداد" میں نقطے تصور کر سکتا ہے، اور سطح میں "ان گنت کثیر" خطوط اور نقاط ہوتے ہیں۔¹⁰ خصوصی طور پر تصویری تصورات کی بات کرتے ہوئے، وہ تعریف کرتے ہیں

٢۔ سطحی خطوط کا دستہ۔ کسی سطح پر موجود ہر نقطے سے ان گنت کثیر سیدھی خطوط ممکن ہیں؛ ان تمام خطوط کی کل کو "سطحی خطوط کا دستہ" کہا جائے گا ..." کل کی مجموعیت"کا اظہار کانتور اور ڈیڈیکِنڈ کے طواقِم متعارف کروانے والے کاموں کا نمونہ بن جائے گا۔ بعد میں ہم پڑھتے ہیں

٥۔ فضائی خطوط کا دستہ۔... ایسا خطوط کا دستہ نہ صرف لامتناہی خطوط پر مشتمل ہوتا ہے، بلکہ بے شمار سطحی خطوط کے دستے (٢) اور سطحات کے دستے (٣) کو بھی اپنے اندر سموتا ہے، بطور ترتیب کے تابع عناصر کے....¹¹

اسٹائنر کا نقطہ نظر اس طرح مجموعات کی زبان کے قریب ہے، حالانکہ اب بھی ایک عمومی نقطہ نظر سے دور ہے، طاقِم کے تصور کے سیدھے تجزیے کا تو ذکر ہی نہیں۔ لیکن اسے ریمان، ڈیڈیکِنڈ اور دیگر مصنفین کے کام کے ساتھ یکجا کیا جا سکتا ہے، کیونکہ یہ پچھلے نظریات کی ایک نئی تصوراتی تشکیل پیش کرتا ہے جو مجموعہ سے متعلق تصورات پر مبنی ہے۔ مزید برآں، ایک سے ایک مطابقت کے معنی میں تبدیلی کا تصور، تصویری ہندسہ کے لیے مرکزی اہمیت اختیار کر گیا تھا۔ اسٹائنر اس تصور کو پوری وضاحت کے ساتھ پیش کرتے ہیں

پہلے ایک سیدھی خط اور ایک سطحی خطوط کا دستہ باہم مربوط کیے جائیں گے، تاکہ ان کے عناصر آپس میں مل جائیں، یعنی، تاکہ سیدھی خط کے ہر نقطے کے لیے دستے میں ایک مخصوص خطِ مستقیم کرے۔¹²

یہ دلچسپ اقتباس، اور موبیئس اور پلکر میں موجود اس جیسے دیگر اقتباسات، واضح طور پر ایک سے ایک تعلق کے تصور کی طرف اشارہ کرتے ہیں۔ قابل ذکر بات یہ ہے کہ اسٹائنر نے ایسے تعلق کو "ترتیبوں کے باہمی انحصار" کو ظاہر کرنے کے لیے ایک کلیدی باضابطہ جز کے طور پر دیکھا، جو ان کے کام میں "اصل حقیقت" کی حیثیت رکھتا تھا۔¹³

کم رومانی مزاج رکھنے والے موبیئس نے اپنی کتاب "بیریسنٹریکل کیلکولس" میں دو مختلف اشکال یا فضاوں میں نقاط کے باہمی یک سے یک تعلق کے تصور کو نہایت واضح طور پر پیش کیا۔ انہوں نے ایسی تبدیلیوں کے ذریعے تعریف کیے جا سکنے والے سادہ ہندسی تعلقات پر غور کیا اور انہیں منظم طور پر ترتیب دیا: یہ "ہم شکلی" (ہم شکلیت)، اور سب سے عمومی "لکیری"  تعلقات تھے۔ ان کا موقف تھا کہ ایسے تمام "تعلقات" عنصری ہندسہ کا حصہ ہیں، کیونکہ تمام صورتوں میں سیدھی خطیں سیدھی خطوں سے مطابقت رکھتی ہیں۔ ایک قابل ذکر لیکن بظاہر کم معلوم حقیقت یہ ہے کہ فیلکس کلائن نے موبیئس کے ہندسی "تعلقات" کے مطالعہ کو اپنے ایرلانگر پروگرام کا واضح سابقہ نمونہ قرار دیا۔ دوسری جانب، موبیئس کے کسی بیان میں ایسی کوئی بات نہیں ملتی جو حقیقی لامُتناہی کی قبولیت کا اشارہ دیتی ہو، ان کے زیادہ رومانی معاصر اسٹائنر کے مذکورہ الفاظ جیسا کچھ بھی نہیں۔

ڈیڈیکنڈ اور کانٹور دونوں اسٹائنر کے خیالات سے واقف تھے، اور پہلے نے موبیئس کا مطالعہ بھی بہت غور سے کیا تھا۔¹⁶ ڈیڈیکنڈ نے 1854/55 میں گوٹنگن میں اپنے پہلے کورس کے موضوع کے طور پر ہندسہ کا انتخاب کیا تھا، جب انہوں نے، جیسا کہ انہوں نے کلائن کو خط میں لکھا، "جدید تحلیلی اور ترکیبی طریقوں کے درمیان متوازییت قائم کرنے کی کوشش کی تھی۔" اس کورس کی تیاری کے لیے، انہوں نے گوٹنگن لائبریری سے اسٹائنر کی کتاب کے ساتھ ساتھ شال، پلکر، اور موبیئس کے "بیریسنٹریکل کیلکولس" کے کام بھی ادھار لیے تھے۔¹⁷

کانتور کے حوالے سے، انہوں نے خود [1932, 151] اشارہ کیا کہ اصطلاح "ماچٹگکائٹ" [طاقت]، جو انہوں نے 1877 سے کسی طاقِم کی عددی طاقت کے لیے استعمال کی، اسٹائنر کے ایک کام سے لی گئی تھی۔¹⁸ اس طرح یہ مانا جا سکتا ہے کہ اسٹائنر نے طاقِم اور ترسیل کے تصورات کو متعارف کروانے اور لامُتناہی کو قبول کرنے میں کچھ کردار ادا کیا، چاہے ان کے بیانات ابھی بھی مبہم اور کافی مخصوص موضوع تک محدود تھے۔ تاہم، ہم اگلے ابواب میں بیان کیے گئے واقعات میں ان کے کام کو خاص اہمیت نہیں دیں گے۔ زیادہ مرکزی طور پر، ہم یہ مان سکتے ہیں کہ جب کانتور اور ڈیڈیکِنڈ نے ریاضی کے لیے طواقِم اور/یا ترسیلات کی اہمیت پر اپنا اعتماد ظاہر کیا، تو ان کے ذہن میں ہندسہ بھی تھا۔

١. [بولزانو 1851، 7]: ہیگل اور اس کے پیروکار… اسے حقیر طور پر "بری لا متناہی" کہتے ہیں اور ایک زیادہ بلند، حقیقی، "معیاری لا متناہی" کو جانتے ہیں جو انہیں خاص طور پر خدا میں اور بالعموم مطلق میں ملتی ہے۔ (دیکھیں بولزانو کی کوشی، گرونرٹ، فریز وغیرہ پر تنقید [ایضًا، 9-13])۔

٢. یہ اقتباس بولزانو [١٨٥١، ٣] اور کانٹور [١٩٣٢، ١٧٩] نے نقل کیا ہے: "میں حقیقی لا متناہی کا اتنا حامی ہوں کہ، اس عام کہاوت کے برعکس کہ 'فطرت لا متناہی سے گھن کرتی ہے'، میں اس بات کو قائم رکھتا ہوں کہ فطرت ہر جگہ اسے بروئے کار لاتی ہے تاکہ اپنے خالق کی کمالات کو بہتر طور پر ظاہر کر سکے۔ اس لیے میرا خیال ہے کہ مادے کا کوئی ایسا حصہ نہیں جو، میں نہیں کہتا قابل تقسیم ہو، بلکہ حقیقتًا تقسیم شدہ نہ ہو؛ اور نتیجتًا مادے کے ذرے کو بے شمار مختلف مخلوقات سے بھری ہوئی ایک کائنات کے طور پر دیکھا جانا چاہیے"۔

٣. لاؤگ وٹز [کونِگ 1990، 9-12] کے مطابق، لیبنز نے لا متناہی کے بارے میں تین مختلف سطحوں پر بات کی: ایک عوامی سطح، دوسری ریاضی دانوں کے لیے، اور تیسری فلسفیوں کے لیے۔ دوسری سطح پر، جو "نووو ایسے" کی ہے، وہ حدود کے ممکنہ تصور کو ترجیح دیتے ہیں، لیکن تیسری سطح پر وہ اس قسم کا طریقہ پیش کرتے ہیں جو ان کی "مونادولوجی" کی خاصیت ہے۔

٤. دیکھیں [ریمان 1892، 534-38]۔ ریمان جو نفسیات اور طبیعیات کے درمیان تعلق قائم کرنا چاہتے ہیں، وہ بھی لائبنِز کی یاد دلاتا ہے۔

٥. ڈیڈیکنڈ سے ویبر، مارچ 1875 [کوڈ. ایم ایس. ریمان 1، 2، 24]: "جہاں تک میرا تعلق ہے، میں مکمل طور پر مادے کے تسلسل سے خلا کی پرکردگی اور کششِ ثقل اور روشنی کے مظاہر کی تشریح کا حامی ہوں۔۔۔ ریمان نے یہ خیالات کافی پہلے اپنا لیے تھے، نہ کہ اپنے آخری سالوں میں۔۔۔ بلا شک، ان کی کوششیں میکانیات کے سب سے عام اصولوں کو ایک نئے تصور پر استوار کرنے کی جانب تھیں، جو انہیں بالکل ترک نہیں کرنا تھے، بلکہ فطرت کی تشریح کے لیے زیادہ فطری بنیاد فراہم کرنا تھا۔ خود کے تحفظ کی جدوجہد اور حالتوں میں تبدیلیوں کا فوری زمانی و مکانی ماحول پر انحصار — جو جزوی تفریقی مساوات میں ظاہر ہوتا ہے  کو اصلی سمجھا جانا چاہیے، نہ کہ ماخوذ۔ کم از کم، میرے خیال میں ان کا منصوبہ یہی تھا۔۔۔ بدقسمتی سے، یہ سب کچھ اتنا ٹکڑوں میں بکھرا ہوا ہے!"۔

٦. دیکھیں [کانتور 1883، خاص طور پر 177، 206-07]، [کانٹور 1932، 275-76]، [شون فلیس 1927، 20]، [میچکوسکی 1967، 258-59]۔ قابل ذکر ہے کہ 1870 کی دہائی میں ماہرین الہیات کا ایک گروپ تھا جنہوں نے حقیقی لا متناہی کو قبول کیا اور کانٹور کے لیے اہم تھے خاص طور پر گٹبرلیٹ اور کارڈنل فرینزلین: دیکھیں [میچکوسکی 1967]، [ڈوبن 1979]، [پرکرٹ اور الگاؤڈز 1987]۔

٧. ریمان کا لا متناہی کے حوالے سے موقف §11.4.2 میں تجزیہ کیا گیا ہے۔

٨. ہندسی ترتیبات کے باہمی انحصار کی مربوط ترقی [اسٹائنر 1832]۔

٩. [اسٹائنر ١٨٣٢، ٥-٤]: "۔۔۔ عضوی طور پر باہم جڑا ہوا کل۔۔۔ موجودہ تحریر نے اس عضویہ کو دریافت کرنے کی کوشش کی ہے۔۔۔" [ایضًا، ٤]: "اگر واقعی اس کام میں فطرت کے راستے کو دریافت کیا گیا ہے۔۔۔"

١٠. اسٹائنر [١٨٣٢، ٨]: "سیدھی خط میں ایک ان گنت تعداد۔۔۔ نقاط کا تصور کیا جا سکتا ہے"۔

١١. اسٹائنر [١٨٣٢، ٨]: "سطحی خطوط کا دستہ۔ کسی سطح پر موجود ہر نقطے سے ان گنت سیدھی خطوط ممکن ہیں؛ ان تمام خطوط کی کل کو 'سطحی خطوط کا دستہ'۔۔۔ کہا جائے گا۔" [ایضًا، ١٦]: "فضائی خطوط کا دستہ۔۔۔ ایسا خطوط کا دستہ نہ صرف لامتناہی خطوط پر مشتمل ہوتا ہے، بلکہ بے شمار سطحی خطوط کے دستے (٢) اور سطحات کے دستے (٣) کو بھی اپنے اندر سموتا ہے، بطور تابع ترتیبات یا عناصر کے۔۔۔"۔

١٢. [اسٹائنر ١٨٣٢، ١٦-١٥]: "پہلے ایک سیدھی خط اور ایک سطحی خطوط کا دستہ باہم مربوط کیے جائیں گے، تاکہ ان کے عناصر آپس میں مل جائیں، یعنی، تاکہ سیدھی خط کے ہر نقطے کے لیے دستے میں ایک مخصوص خطِ مُستَقیم کرے"۔

١٣. [ایضًا، ٦] "اصل حقیقت۔۔۔ جو اس میں ہے کہ اشکال کا باہمی انحصار، اور اس کی نوعیت اور طریقہ دریافت کیا جاتا ہے، کہ کس طرح ان کی خصوصیات سادہ اشکال سے مرکب اشکال تک منتقل ہوتی ہیں۔"

١٤. [ایضًا، 266] یک خطیت کی "حقیقت" اس میں ہے کہ "دو سطحی یا جسمانی فضاوں میں، ایک فضا کے ہر نقطے کے لیے دوسری فضا میں ایک نقطہ اس طرح مطابقت رکھتا ہے کہ، اگر ایک فضا میں کوئی سیدھی خط کھینچی جائے، تو اس خط سے ملنے والے تمام نقاط کے لیے، دوسری فضا میں منسلک نقاط بھی ایک سیدھی خط سے منسلک کیے جا سکتے ہیں"۔

١٥. [کلائن 1926، جلد اول، 118]، اور نیز [وسنگ 1969، 35-42]، جس میں موبیئس کے اس پہلو پر زیادہ تفصیلی بحث شامل ہے۔

١٦. اگرچہ ریمان نے 1847-49 کے سال برلن میں گزارے، لیکن بظاہر انہوں نے اسٹائنر کے لیکچرز میں شرکت نہیں کی۔

١٧. جیسا کہ 1854 کے گرمائی سمسٹر اور 1854/55 کے سرمائی سمسٹر کے لیے گوٹنگن کے "آوسلائہ رجسٹر" کے حجم میں دیکھا جا سکتا ہے۔ انہوں نے موبیئس پر خاص توجہ دی، کیونکہ انہوں نے [1827] کو 1850/51، 1853، 1854 اور 1855 کے سمسٹرز میں ادھار لیا۔ قابل ذکر بات یہ کہ موبیئس نقاط کے (متناسب) مجموعوں کو "سسٹم وون پنکٹنک" کہتے ہیں [مثلًا، 1827، 170]؛ لفظ "نظام"، جسے ریمان اور ڈیڈیکنڈ خود اپنے الجبرائی کام میں استعمال کرتے تھے، بالآخر 1870 کی دہائی میں ان کی مجموعہ کے لیے تکنیکی اصطلاح بن جائے گا (دیکھیں باب ۳ اور ٤)۔

١٨. کانٹور 

"Vorlesungen über synthetische Geometrie der Kegelschnitte، §2"

 کا حوالہ دیتے ہیں۔ اسٹائنر نے یہ اصطلاح اس بات کی نشاندہی کے لیے استعمال کی کہ دو ترتیبیں ایک سے ایک تعلق کے ذریعے مربوط ہیں۔

فقط

سہیل طاہر 

سیالکوٹ