الجبر؛ منفی مقداریں اور متشابہ حدود کا جمع
باب دوم
منفی مقداریں۔ متشابہ حدود کا جمع
١٩. طالبِ علم اپنے حسابی کام میں + اور - کی علامتوں سے جڑی عددی مقداروں کو حل کرنے کا عادی رہا ہے اور جب وہ
𝟏¾ + 𝟕⅔ - 𝟑⅛ + 𝟔 - 𝟒⅕
جیسی کسی عبارت کی قیمت معلوم کرتا ہے، تو وہ بخوبی سمجھتا ہے کہ جن مقداروں سے پہلے + کی علامت لگی ہے وہ زائد (ایڈیٹیو) ہیں، اور جن کے پہلے - کی علامت ہے وہ ناقص (سبٹریکٹیو) ہیں، جب کہ پہلی مقدار
𝟏¾
جس سے پہلے کوئی علامت نہیں ہے، زائد حدود میں شمار ہوتی ہے۔ یہی مفہوم جبر میں بھی کارفرما ہے چنانچہ عبارت
𝟕𝑎 + 𝟑𝑏 - 𝟒𝑐 - 𝟐𝑑
کو استعمال کرتے ہوئے ہم سمجھتے ہیں کہ علامات
𝟕𝑎 ∧ 𝟑𝑏
زائد ہیں، جب کہ
𝟒𝑐 ∧ 𝟐𝑑
ناقص ہیں۔
٢٠. لیکن علمِ حساب (ارِتھمیٹک) میں زائد حدود کا مجموعہ ہمیشہ ناقص حدود کے مجموعے سے بڑا ہوتا ہے اور اگر صورتِ حال اس کے برعکس ہو تو حاصل ہونے والے نتیجے کا کوئی حسابی مفہوم نہیں رہتا۔ تاہم، جبر (الجبرا) میں نہ صرف یہ کہ ناقص حدود کا مجموعہ زائد حدود کے مجموعے سے بڑھ سکتا ہے، بلکہ ایک ناقص حد اکیلی قائم رہ کر بھی مکمل طور پر قابلِ فہم مفہوم رکھ سکتا ہے۔لہٰذا، تمام جبری مقداروں کو مثبت مقداروں (پوزیٹیو کونٹیٹیز) اور منفی مقداروں (نیگیٹیو کوانٹیٹیز) میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، اس لحاظ سے کہ وہ + کی علامت سے ظاہر کی گئی ہیں یا - کی علامت سے اور اس بات کا تعلق جمع اور تفریق کے کسی واقعی عمل سے بالکلیہ آزاد ہوتا ہے۔ اس مفہوم کو ایک یا دو سادہ مثالوں سے مزید واضح کیا جا سکتا ہے
الف۔ فرض کیجیے ایک شخص کو 𝟏𝟎𝟎؍ روپے نفع ہوا اور پھر 𝟕𝟎؍ روپے کا نقصان ہوا، تو اس کا کل نفع 𝟑𝟎؍ روپے ہوگا۔ لیکن اگر اسے پہلے 𝟕𝟎؍ روپے نفع ہو اور پھر 𝟏𝟎𝟎؍ روپے کا نقصان ہو جائے، تو اس کی تجارت کا نتیجہ 𝟑𝟎؍ روپے کا خسارہ (نقصان) ہوگا۔ ان کے متناظر جبری بیانات یوں ہوں گے
+ 𝟏𝟎𝟎 ₹ - 𝟕𝟎 ₹ = + 𝟑𝟎 ₹
+ 𝟕𝟎 ₹ - 𝟏𝟎𝟎 ₹ = - 𝟑𝟎 ₹
اور دوسری صورت میں منفی مقدار کو ایک قرض (ڈیبٹ) سے تعبیر کیا جاتا ہے، یعنی رقم کی ایک ایسی نوعیت جو پہلی صورت کی مثبت مقدار یا نفع کے بالکل برعکس ہے درحقیقت یہ کہا جا سکتا ہے کہ یہ ایک ناقص/منفی صفت رکھتی ہے جو دیگر لین دین پر اپنا اثر دکھائے گی، یا شاید نفع کی رقم کو مکمل طور پر برابر کر کے ختم کر دے گی۔
ب۔ فرض کیجیے ایک شخص ایک مقررہ نقطے سے شروع کر کے ایک سیدھی سڑک پر 𝟏𝟎𝟎 گز آگے کی طرف چلتا ہے اور پھر 𝟕𝟎 گز پیچھے کی طرف آتا ہے، تو ابتدائی نقطے سے اس کا فاصلہ 𝟑𝟎 گز ہوگا۔ لیکن اگر وہ پہلے 𝟕𝟎 گز آگے چلتا ہے اور پھر 𝟏𝟎𝟎 گز پیچھے کی طرف آتا ہے، تو ابتدائی نقطے سے اس کا فاصلہ پھر بھی 𝟑𝟎 گز ہوگا، لیکن اس نقطے کی دوسری (مخالف) سمت میں۔ پہلے کی طرح ہمارے پاس ہے
+ 𝟏𝟎𝟎 - 𝟕𝟎 = + 𝟑𝟎
+ 𝟕𝟎 - 𝟏𝟎𝟎 = - 𝟑𝟎
ان میں سے ہر صورت میں ابتدائی نقطے سے شخص کا مطلق فاصلہ یکساں ہے لیکن مثبت اور منفی علامتوں کو مدّ نظر رکھتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ - 𝟑𝟎 گز ابتدائی نقطے سے ایک ایسا فاصلہ ہے جو مقدار میں + 𝟑𝟎 گز کے برابر ہے لیکن سمت میں اس کے مخالف ہے۔ اس طرح یہاں منفی علامت کو سمت کی تبدیلی (معکوسی) کو ظاہر کرنے کے لیے لیا جا سکتا ہے۔
بہت سی دیگر مثالیں بھی منتخب کی جا سکتی ہیں لیکن طالبِ علم کو یہ یاد دلانا ہی کافی ہوگا کہ ایک ناقص مقدار ہمیشہ مساوی مطلق قیمت والی زائد مقدار کی نوعیت کے برعکس ہوتی ہے۔
نُکتہ۔ مطلق قیمت (ایبسلوٹ ویلیو) وہ قیمت ہوتی ہے جو + اور - کی علامتوں سے قطع نظر لی جاتی ہے۔ اسے عُمُودًا کھینچی گئی لکیروں سے ظاہر کیا جاتا ہے، جیسے |𝒙|، جہاں لکیروں کے اندر موجود مقدار کو اس کی علامت پر توجہ دیے بغیر لیا جاتا ہے۔
٢١. تعریف: جب چند مقداروں کو علامات + اور - کے ذریعے باہم مربوط کیا جائے، تو حاصل ہونے والی عبارت کو ان کا جبری مجموعہ (الجبرک سم) کہا جاتا ہے۔ اس طرح
𝟏𝟏𝒂 - 𝟐𝟕𝒂 + 𝟏𝟑𝒃 - 𝟓𝒃
ایک جبری مجموعہ ہے۔ تاہم یہ عبارت، جیسا کہ آگے ظاہر کیا جائے گا، اپنی آسان ترین شکل میں نہیں ہے۔
٢٢. جمع (ایڈیشن) وہ عمل ہے جس کے ذریعے کسی بھی تعداد میں موجود مقداروں کا جبری مجموعہ ان کی آسان ترین شکل میں معلوم کیا جاتا ہے۔
٢٣. متشابہ حدود (لائق ٹرمز یا سیمیلر ٹرمز) وہ حدود ہوتے ہیں جو یا تو آپس میں بالکل مختلف نہیں ہوتے، یا صرف اپنے عددی ضریبوں (نمیریکل کویفیشنٹ) میں مختلف ہوتے ہیں۔ دیگر حدود غیر متشابہ (اَن لائق یا ڈیسیمیلر) کہلاتے ہیں۔
چنانچہ
𝟑𝒂, 𝟕𝒂 ; 𝟓𝒂²𝒃, 𝟐𝒂²𝒃 ; 𝟑𝒂³𝒃², - 𝟒𝒂³𝒃²
متشابہ حدود کے جوڑے ہیں اور
𝟒𝒂, 𝟑𝒃 ; 𝟕𝒂², 𝟗𝒂²𝒃
غیر متشابہ حدود کے جوڑے ہیں۔
متشابہ حدود کی جمع (ایڈیشن آف لائق ٹرمز)
قاعدہ ١. چند متشابہ حدود کا مجموعہ بھی ایک متشابہ حد ہی ہوتا ہے۔
قاعدہ ٢. اگر تمام حدود مثبت ہوں، تو ان کے ضریبوں (کویفیشنٹس) کو جمع کر لیجیے۔
مثال
𝟖𝒂 + 𝟓𝒂
کی قیمت معلوم کیجیے۔
یہاں ہمیں 𝟖 یکساں چیزوں میں اسی نوعیت کی 𝟓 یکساں چیزوں کا اضافہ کرنا ہے، اور ان کا کل مجموعہ ایسی ہی 𝟏𝟑 چیزیں ہوگا۔ مثال کے طور پر 𝟖 پاؤنڈ + 𝟓 پاؤنڈ = 𝟏𝟑 پاؤنڈ۔ لہٰذا
𝟖𝒂 + 𝟓𝒂 = 𝟏𝟑𝒂
اسی طرح
𝟖𝒂 + 𝟓𝒂 + 𝒂 + 𝟐𝒂 + 𝟔𝒂 = 𝟐𝟐𝒂
قاعدہ ٣. اگر تمام حدود منفی ہوں، تو ضریبوں کو عددی طور پر جمع کر لیجیے اور حاصلِ جمع سے پہلے تفریق (منفی) کی علامت لگا دیجیے۔
مثال
- 𝟑𝒙, - 𝟓𝒙, - 𝟕𝒙, - 𝒙
کا مجموعہ معلوم کرنا۔
یہاں لفظ "مجموعہ" ایک ہی نوعیت کی 𝟒 ناقص/منفی مقداروں کے کل اجتماع کو ظاہر کرتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں، ہمیں بالترتیب 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏 یکساں چیزیں منہا کرنی ہیں، اور اس کا نتیجہ مجموعی طور پر 𝟑 + 𝟓 + 𝟕 + 𝟏 چیزوں کو منہا کرنے کے برابر ہے۔ اس طرح
- 𝟑𝒙, - 𝟓𝒙, - 𝟕𝒙, - 𝒙
کا مجموعہ
- 𝟏𝟔𝒙
ہے۔
قاعدہ ٤. اگر تمام حدود کی علامتیں یکساں نہ ہوں، تو تمام مثبت حدود کے ضریبوں کو اور تمام منفی حدود کے ضریبوں کو الگ الگ جمع کر لیجیے ان دونوں نتائج کا فرق (اختلاف)، بڑی مقدار کی علامت کے ساتھ، مطلوبہ مجموعے کا ضریب فراہم کرے گا۔
مثال ١
𝟏𝟕𝒙 ∧ - 𝟖𝒙
کا مجموعہ
𝟗𝒙
ہے، کیونکہ 𝟏𝟕 اور 𝟖 کا فرق 𝟗 ہے، اور بڑی مقدار مثبت ہے۔
مثال ٢
𝟖𝒂, - 𝟗𝒂, - 𝒂, 𝟑𝒂, 𝟒𝒂, - 𝟏𝟏𝒂, 𝒂
کا مجموعہ معلوم کرنا۔
مثبت حدود کے ضریبوں کا مجموعہ = 𝟏𝟔
منفی حدود کے ضریبوں کا مجموعہ = 𝟐𝟏
ان دونوں کا فرق = 𝟓، اور بڑی مقدار کی علامت منفی ہے لہٰذا مطلوبہ مجموعہ
- 𝟓𝒂
ہے۔
تاہم ہمیں اس قاعدے کی سختی سے پابندی کرنے کی ضرورت نہیں ہے، کیونکہ حدود کو جس ترتیب میں ہم سب سے زیادہ مناسب سمجھیں، جمع یا تفریق کر سکتے ہیں۔ اس عمل کو حدود کو مجتمع کرنا (کولیکٹنگ ٹرمز) کہا جاتا ہے۔
مثال ٣
⅔ 𝒂, 𝟑𝒂, -⅙ 𝒂, - 𝟐𝒂
کا مجموعہ معلوم کیجیے۔
مجموعہ
= 𝒂(𝟐/𝟑 + 𝟑 - 𝟏/𝟔 - 𝟐)
= 𝒂(𝟐/𝟑 + 𝟑 - 𝟐 - 𝟏/𝟔)
= 𝒂(𝟐/𝟑 - 𝟏/𝟔 + 𝟏 )
= 𝒂(𝟒/𝟔 - 𝟏/𝟔 + 𝟏 )
= 𝒂(𝟑/𝟔 + 𝟏)
= 𝒂(𝟏/𝟐 + 𝟏)
= 𝒂(𝟑/𝟐)
= 𝟑/𝟐 𝒂 (∨ 𝟏½ 𝒂)
متبادل اندازِ حل
= 𝟑⅔ 𝒂 - 𝟐⅙ 𝒂
= 𝟏½ 𝒂
= 𝟑/𝟐 𝒂
نُکتہ۔ دو ایسی مقداروں کا مجموعہ جو عددی طور پر برابر ہوں لیکن ان کی علامتیں مخالف ہوں، صفر ہوتا ہے۔ اسی عمل کو جمعی معکوس کہا جاتا ہے۔
𝟓𝒂
اور
- 𝟓𝒂
کا مجموعہ 𝟎 ہے۔
مشق ۲
درج ذیل کا مجموعہ معلوم کیجیے
𝟏. 𝟓𝒂, 𝟕𝒂, 𝟏𝟏𝒂, 𝒂, 𝟐𝟑𝒂
حل
𝒂(𝟓 + 𝟕 + 𝟏𝟏 + 𝟏 + 𝟐𝟑) = 𝟒𝟕𝒂
𝟐. 𝟒𝒙, 𝒙, 𝟑𝒙, 𝟕𝒙, 𝟗𝒙
حل
𝒙(𝟒 + 𝟏 + 𝟑 + 𝟕 + 𝟗) = 𝟐𝟒𝒙
𝟑. 𝟕𝒃, 𝟏𝟎𝒃, 𝟏𝟏𝒃, 𝟗𝒃, 𝟐𝒃
حل
𝒃(𝟕 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟏 + 𝟗 + 𝟐) = 𝟑𝟗𝒃
𝟒. 𝟔𝒄, 𝟖𝒄, 𝟐𝒄, 𝟏𝟓𝒄, 𝟏𝟗𝒄, 𝟏𝟎𝟎𝒄, 𝒄
حل
𝒄(𝟔 + 𝟖 + 𝟐 + 𝟏𝟓 + 𝟏𝟗 + 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏) = 𝟏𝟔𝟏𝒄
𝟓. - 𝟑𝒙, - 𝟓𝒙, - 𝟏𝟏𝒙, - 𝟕𝒙
حل
𝒙(- 𝟑 - 𝟓 - 𝟏𝟏 - 𝟕) = - 𝟐𝟔𝒙
𝟔. - 𝟓𝒃, - 𝟔𝒃, - 𝟏𝟏𝒃, - 𝟏𝟖𝒃
حل
𝒃(- 𝟓 - 𝟔 - 𝟏𝟏 - 𝟏𝟖) = - 𝟒𝟎𝒃
𝟕. - 𝟑𝒚, - 𝟕𝒚, - 𝒚, - 𝟐𝒚, - 𝟒𝒚
حل
𝒚(- 𝟑 - 𝟕 - 𝟏 - 𝟐 - 𝟒) = - 𝟏𝟕𝒚
𝟖. - 𝒄, - 𝟐𝒄, - 𝟓𝟎𝒄, - 𝟏𝟑𝒄
حل
𝒄(- 𝟏 - 𝟐 - 𝟓𝟎 - 𝟏𝟑) = - 𝟔𝟔𝒄
𝟗. - 𝟏𝟏𝒃, - 𝟓𝒃, - 𝟑𝒃, 𝒃
حل
𝒃(𝟏 - 𝟏𝟏 - 𝟓 - 𝟑) = - 𝟏𝟖𝒃
𝟏𝟎. 𝟓𝒙, - 𝒙, - 𝟑𝒙, 𝟐𝒙, - 𝒙
حل
𝒙(𝟓 + 𝟐 - 𝟏 - 𝟑 - 𝟏) = 𝟐𝒙
𝟏𝟏. 𝟐𝟔𝒚, - 𝟏𝟏𝒚, 𝒚, - 𝟏𝟓𝒚, - 𝟑𝒚, 𝟐𝒚
حل
𝒚(𝟐𝟔 + 𝟏 + 𝟐 - 𝟏𝟏 - 𝟏𝟓 - 𝟑) = 𝟎
𝟏𝟐. 𝟓𝒇, - 𝟗𝒇, - 𝟑𝒇, 𝟐𝟏𝒇, - 𝟑𝟎𝒇
حل
𝒇(𝟓 + 𝟐𝟏 - 𝟗 - 𝟑 - 𝟑𝟎) = - 𝟏𝟔𝒇
𝟏𝟑. 𝟐𝒔, - 𝟑𝒔, 𝒔, - 𝒔, - 𝟓𝒔, 𝟓𝒔
حل
𝒔(𝟐 + 𝟏 + 𝟓 - 𝟑 - 𝟏 - 𝟓) = - 𝒔
𝟏𝟒. 𝟕𝒚, - 𝟏𝟏𝒚, 𝟏𝟔𝒚, - 𝟑𝒚, - 𝟐𝒚
حل
𝒚(𝟕 + 𝟏𝟔 - 𝟏𝟏 - 𝟑 - 𝟐 ) = 𝟕𝒚
𝟏𝟓. 𝟓𝒙, - 𝟕𝒙, - 𝟐𝒙, 𝟕𝒙, 𝟐𝒙, - 𝟓𝒙
حل
𝒙(𝟓 + 𝟕 + 𝟐 - 𝟕 - 𝟐 - 𝟓) = 𝟎
𝟏𝟔. 𝟕𝒂𝒃, - 𝟑𝒂𝒃, - 𝟓𝒂𝒃, 𝟐𝒂𝒃, 𝒂𝒃
حل
𝒂𝒃(𝟕 + 𝟐 + 𝟏 - 𝟑 - 𝟓) = 𝟐𝒂𝒃
درج ذیل کی قیمت معلوم کیجیے
𝟏𝟕. - 𝟗𝒙² + 𝟏𝟏𝒙² + 𝟑𝒙² - 𝟒𝒙²
حل
𝟏𝟏 + 𝟑 - 𝟗 - 𝟒 = 𝒙²
𝟏𝟖. 𝟑𝒂²𝒙 + 𝟏𝟖𝒂²𝒙 + 𝒂²𝒙
حل
𝟑 + 𝟏𝟖 + 𝟏 = 𝟐𝟐𝒂²𝒙
𝟏𝟗. 𝟑𝒂³ - 𝟕𝒂³ - 𝟖𝒂³ + 𝟐𝒂³ - 𝟏𝟏𝒂³
حل
𝟑 + 𝟐 - 𝟕 - 𝟖 - 𝟏𝟏 = - 𝟐𝟏𝒂³
𝟐𝟎. 𝟒𝒙³ - 𝟓𝒙³ - 𝟖𝒙³ - 𝟕𝒙³
حل
𝟒 - 𝟓 - 𝟖 - 𝟕 = - 𝟏𝟔𝒙³
𝟐𝟏. 𝟒𝒂²𝒃² - 𝒂²𝒃² - 𝟕𝒂²𝒃² + 𝟓𝒂²𝒃² - 𝒂²𝒃²
حل
𝟒 + 𝟓 - 𝟏 - 𝟕 - 𝟏 = 𝟎
𝟐𝟐. - 𝟗𝒙⁴ - 𝟒𝒙⁴ - 𝟏𝟐𝒙⁴ + 𝟏𝟑𝒙⁴ - 𝟕𝒙⁴
حل
𝟏𝟑 - 𝟗 - 𝟒 - 𝟏𝟐 - 𝟕 = - 𝟏𝟗𝒙⁴
𝟐𝟑. 𝟕𝒂𝒃𝒄𝒅 - 𝟏𝟏𝒂𝒃𝒄𝒅 - 𝟒𝟏𝒂𝒃𝒄𝒅 + 𝟐𝒂𝒃𝒄𝒅
حل
𝟕 + 𝟐 - 𝟏𝟏 - 𝟒𝟏 = - 𝟒𝟑𝒂𝒃𝒄𝒅
𝟐𝟒. 𝟏/𝟐 𝒙 - 𝟏/𝟑 𝒙 + 𝒙 + 𝟐/𝟑 𝒙
حل
𝟏/𝟐 + 𝟏 - 𝟏/𝟑 + 𝟐/𝟑 = 𝟏𝟏/𝟔 𝒙 (or 𝟏⅚ 𝒙)
𝟐𝟓. 𝟑/𝟐 𝒂 + 𝟑/𝟓 𝒂 - 𝟏/𝟐 𝒂
حل
𝟑/𝟐 - 𝟏/𝟐 + 𝟑/𝟓 = 𝟖/𝟓 𝒂 (or 𝟏⅗ 𝒂)
𝟐𝟔. - 𝟓𝒃 + 𝟏/𝟒 𝒃 - 𝟑/𝟐 𝒃 + 𝟐𝒃 - 𝟏/𝟐 𝒃 + 𝟕/𝟒 𝒃
حل
𝟏/𝟒 + 𝟕/𝟒 + 𝟐 - 𝟓 - 𝟑/𝟐 - 𝟏/𝟐 = - 𝟑𝒃
𝟐𝟕. - 𝟓/𝟑 𝒙² - 𝟐𝒙² - 𝟐/𝟑 𝒙² + 𝒙² + 𝟏/𝟐 𝒙² + 𝟏𝟏/𝟔 𝒙²
حل
𝟏 + 𝟏/𝟐 + 𝟏𝟏/𝟔 - 𝟓/𝟑 - 𝟐 - 𝟐/𝟑 = - 𝒙²
𝟐𝟖. - 𝒂𝒃 - 𝟏/𝟐 𝒂𝒃 - 𝟏/𝟑 𝒂𝒃 - 𝟏/𝟒 𝒂𝒃 - 𝟏/𝟔 𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 + 𝟓/𝟏𝟐 𝒂𝒃
حل
𝟏 + 𝟓/𝟏𝟐 - 𝟏 - 𝟏/𝟐 - 𝟏/𝟑 - 𝟏/𝟒 - 𝟏/𝟔 = - 𝟓/𝟔 𝒂𝒃
𝟐𝟗. 𝟐/𝟑 𝒙 - 𝟑/𝟒 𝒙 + 𝟓/𝟔 𝒙 - 𝟐𝒙 + 𝟏𝟏/𝟔 𝒙 - 𝟏/𝟑 𝒙 + 𝒙
حل
𝟐/𝟑 + 𝟓/𝟔 + 𝟏𝟏/𝟔 + 𝟏 - 𝟑/𝟒 - 𝟐 - 𝟏/𝟑 = 𝟓/𝟒 𝒙 (or 𝟏¼ 𝒙)
𝟑𝟎. - 𝟓/𝟑 𝒙² - 𝟑/𝟒 𝒙² - 𝟒/𝟑 𝒙² - 𝟏/𝟒 𝒙² - 𝒙²
حل
- 𝟓/𝟑 - 𝟒/𝟑 - 𝟑/𝟒 - 𝟏/𝟒 - 𝟏 = - 𝟓𝒙²
٢٤. جب چند حسابی مقداروں کو علامات + اور - کے ذریعے باہم مربوط کیا جائے، تو نتیجے کی قیمت وہی رہتی ہے خواہ حدود کو کسی بھی ترتیب میں لیا جائے۔ یہ بات جبری مقداروں کے معاملے میں بھی صادق آتی ہے۔
چنانچہ
𝒂 - 𝒃 + 𝒄
مساوی ہے
𝒂 + 𝒄 - 𝒃
کے، کیونکہ ان دو عبارتوں میں سے پہلی میں
𝒃 کو 𝒂
سے تفریق کیا جاتا ہے اور
𝒄
کو نتیجے میں جمع کیا جاتا ہے جب کہ دوسری میں
𝒄 کو 𝒂
میں جمع کیا جاتا ہے اور
𝒃
کو نتیجے سے تفریق کیا جاتا ہے۔
ایسی ہی دلیل تمام جبری عبارتوں پر لاگو ہوتی ہے۔ لہٰذا ہم کسی عبارت کی حدود کو جس ترتیب میں چاہیں لکھ سکتے ہیں۔ اس طرح یہ ظاہر ہوتا ہے کہ عبارت
𝒂 - 𝒃
کو اس کے مساوی شکل
- 𝒃 + 𝒂
میں لکھا جا سکتا ہے۔
اس کی وضاحت کے لیے ہم فرض کر سکتے ہیں، جیسا کہ دفعہ 𝟐𝟎 میں ہے، کہ
𝒂, 𝒂
روپے کے نفع کو ظاہر کرتا ہے اور
- 𝒃, 𝒃
روپے کے نقصان کو، اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ نفع نقصان سے پہلے ہے یا نقصان نفع سے پہلے ہے۔
___________________________________________
By Sohail Tahir.
Comments
Post a Comment