الجبر؛ تعریفات و تعویضات

الجبر

باب اَوَّل؛ تعریفات اور تعویضات

١. جبر مقداروں پر اسی طرح بحث کرتا ہے جس طرح علمِ حساب (آرِتھمیٹکس) کرتا ہے، مگر اس (الجبر) میں عمومیت زیادہ ہوتی ہے۔ کیونکہ جہاں حسابی عمل میں استعمال ہونے والی مقداروں کو ہندسوں کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے جن کی ایک متعین قیمت ہوتی ہے، وہیں جبری مقداریں علامتوں سے ظاہر کی جاتی ہیں جن کی کوئی بھی ایسی قیمت ہو سکتی ہے جو ہم ان کے لیے مقرر کرنا چاہیں۔

مقدار کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہونے والی علامتیں عُمُومًا ہمارے اپنے حروفِ تہجی کے حروف ہوتے ہیں اور اگرچہ اس بات کی کوئی قید نہیں ہے کہ کوئی علامت کس عددی قیمت کی نمائندگی کرے، لیکن یہ بات مفہوم ہوتی ہے کہ کام کے ایک ہی سلسلے میں وہ پوری طرح ایک ہی قیمت پر قائم رہتی ہے۔

لہٰذا، جب ہم یہ کہتے ہیں کہ "فرض کیجیے الف، 𝟏 کے برابر ہے"، تو اس سے یہ مراد نہیں ہوتی کہ الف کی قیمت ہمیشہ 𝟏 ہی رہے گی، بلکہ صرف اس خاص مثال میں جو اس وقت ہمارے زیرِ غور ہے۔ مزید برآں، ہم علامتوں پر کوئی مخصوص عددی قیمت عائد کیے بغیر بھی ان پر عمل کر سکتے ہیں در اصل جبر کا تعلق بنیادی طور پر ایسے ہی اعمال سے ہے۔

ہم جبر کی تعریفوں سے آغاز کرتے ہیں، اس پیشگی صراحت کے ساتھ کہ علامتیں + , − , × , ÷ , () , = وہی معنی رکھیں گی جو علمِ حساب میں ہیں۔ نیز، فی الحال یہ فرض کیا جائے گا کہ استعمال ہونے والی تمام جبری علامتیں صحیح اعداد (اِنٹیگرل نمبرز) کی نمائندگی کرتی ہیں۔

٢. ایک جبری عبارت (الجبرک ایکسپریشن) علامات کا مجموعہ ہوتی ہے۔ یہ ایک یا ایک سے زیادہ حدود پر مشتمل ہو سکتی ہے، جو کہ وہ اجزاء ہیں جو علامات + اور − کے ذریعے ایک دوسرے سے الگ کیے جاتے ہیں۔ اس طرح، 

𝟕𝒂 − 𝟑𝒂𝒃 − 𝟓𝒄 − 𝒙 + 𝟐𝒚 

ایک ایسی عبارت ہے جو پانچ حدود پر مشتمل ہے۔

 نُکتہ۔ جب کسی حد سے پہلے کوئی علامت نہ ہو تو علامت + مفہوم ہوتی ہے۔

٣. عبارتیں یا تو مفرد (سِمپل) ہوتی ہیں یا مرکب (کمپاؤنڈ)۔ ایک مفرد عبارت ایک حد پر مشتمل ہوتی ہے، جیسے 

𝟓𝒂

 ۔ ایک مرکب عبارت دو یا دو سے زیادہ حدود پر مشتمل ہوتی ہے۔ مرکب عبارتوں میں مزید تمیز کی جا سکتی ہے۔ چنانچہ دو حدود والی عبارت، جیسے

 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃

  اکثر ذو حدّی (بینومیئل) کہلاتی ہے، اور تین حدود والی عبارت، جیسے

𝟐𝒂 + 𝟑𝒃 + 𝒄

 سہ حدّی (ٹرینومیئل) کہلاتی ہے۔ مفرد عبارتوں کو اکثر یک حدّی (مونومیئلز) اور مرکب عبارتوں کو کثیر حدّی (ملٹی نومیئلز یا پولینومیئلز) کہا جاتا ہے۔

٤. جب دو یا دو سے زیادہ مقداروں کو آپس میں ضرب دیا جائے تو حاصل ہونے والے نتیجے کو حاصلِ ضرب (پروڈکٹ) کہا جاتا ہے۔ یہاں علمِ حساب اور الجبرا کی علامت نگاری کے درمیان ایک اہم فرق کا ذکر کرنا ضروری ہے۔ علمِ حساب میں 𝟐 اور 𝟑 کا حاصلِ ضرب 𝟐 × 𝟑 لکھا جاتا ہے، جب کہ جبر میں 

𝒂 اور 𝒃

 کا حاصلِ ضرب مندرجہ ذیل شکلوں میں سے کسی بھی شکل میں لکھا جا سکتا ہے؛ 

𝒂 × 𝒃, 𝒂 · 𝒃, 𝒂𝒃. 

شکل 𝒂𝒃 سب سے زیادہ عام ہے۔

لہٰذا، اگر 

𝒂 = 𝟐, 𝒃 = 𝟑 

ہو، تو حاصلِ ضرب

 𝒂𝒃 = 𝒂 × 𝒃 = 𝟐 × 𝟑 = 𝟔 

ہوگا لیکن علمِ حساب میں 𝟐𝟑 کا مطلب "تیئیس" (ٹوئنٹی تھری)، یعنی

𝟐𝟑 = 𝟐 × 𝟏𝟎 + 𝟑 

ہوتا ہے۔

٥. حاصلِ ضرب بنانے کے لیے جن مقداروں کو آپس میں ضرب دیا جاتا ہے، ان میں سے ہر ایک کو حاصلِ ضرب کا عامل یا جزوِ ضربی (فیکٹر) کہا جاتا ہے۔ اس طرح

𝟓, 𝒂, 𝒃 

حاصلِ ضرب

 𝟓𝒂𝒃

 کے عوامل ہیں۔

نُکتہ۔ نئے سیکھنے والے (مبتدی) کو حد (ٹرم) اور عامل (فیکٹر) کے درمیان فرق کا غور سے مشاہدہ کرنا چاہیے۔

٦. جب کسی عبارت کے عوامل میں سے ایک عامل عددی مقدار ہو، تو اسے باقی ماندہ عوامل یا دلالتوں کا عددی ضریب (کوئیفیشنٹ) کہا جاتا ہے۔ چنانچہ عبارت

 𝟓𝒂𝒃 

میں 𝟓 ضریب ہے۔ لیکن لفظ ضریب (کوئیفیشنٹ) ایک وسیع تر مفہوم میں بھی استعمال ہوتا ہے، اور بعض اوقات یہ آسان رہتا ہے کہ کسی حاصلِ ضرب کے کسی بھی عامل یا عوامل کو باقی ماندہ عوامل کا ضریب تسلیم کر لیا جائے۔ اس طرح، حاصلِ ضرب 

𝟔𝒂𝒃𝒄 

میں

 𝟔𝒂

 کو مناسب طور پر 

𝒃𝒄

 کا ضریب کہا جا سکتا ہے۔ ایسا ضریب جو محض عددی نہ ہو، اسے بسا اوقات حرفی ضریب (لِٹرل کوئیفیشنٹ) کہا جاتا ہے۔

نُکتہ۔ جب ضریب اکائی (یعنی 𝟏) ہو تو عُمُومًا اسے حذف کر دیا جاتا ہے، اور ہم

 𝟏𝒂 

کی بجائے صرف

 𝒂

 لکھتے ہیں۔

٧. کسی مقدار کی قوت (پاور) وہ حاصلِ ضرب ہے جو اس مقدار کو بطور عامل کتنی ہی بار دہرانے سے حاصل ہو، اور اسے مقدار کے دائیں جانب اور اس کے اوپر عوامل کی تعداد لکھ کر ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس طرح

𝒂 × 𝒂

کو 𝒂 کی دوسری قوت کہا جاتا ہے، اور اسے 𝒂² لکھا جاتا ہے۔

𝒂 × 𝒂 × 𝒂 

کو 𝒂 کی تیسری قوت کہا جاتا ہے، اور اسے 𝒂³ لکھا جاتا ہے اور اسی طرح آگے بھی۔

نمایندہ یا قوت نما (انڈیکس / ایکسپوننٹ) وہ عدد ہے جو کسی مقدار کی قوت کو ظاہر کرتا ہے۔ چنانچہ 𝟐، 𝟓، 𝟕 بالترتیب

 𝒂², 𝒂⁵, 𝒂⁷

کے قوت نما (انڈائسیس) ہیں۔

نُکتہ۔

𝒂² 

 کو عُمُومًا 

،"𝒂 مربع"

 𝒂³

 کو

 "𝒂 مکعب"

𝒂⁴

 کو

 "𝒂 کی قوت چار" 

پڑھا جاتا ہے اور اسی طرح آگے بھی۔

جب قوت نما اکائی (𝟏) ہو تو اسے حذف کر دیا جاتا ہے، اور ہم

 𝒂¹ 

کی بجائے صرف 

𝒂

 لکھتے ہیں۔ اس طرح

 𝒂, 𝟏𝒂, 𝒂¹, 𝟏𝒂¹ &  𝒂¹. 

تمام کا ایک ہی مفہوم ہے۔

٨. مبتدی (نئے سیکھنے والے) کو ضریب (کوئیفیشنٹ) اور قوت نما (انڈیکس) کے درمیان فرق میں محتاط رہنا چاہیے۔

مثال ۱

𝟑𝒂

 اور 

𝒂³

کے معانی میں کیا فرق ہے؟

𝟑𝒂

 سے ہماری مراد مقداروں 

𝟑

 اور 

𝒂 

کا حاصلِ ضرب ہے۔

𝒂³ 

سے ہماری مراد مقداروں 

𝒂, 𝒂, 𝒂 

کا حاصلِ ضرب ہے۔ چنانچہ، اگر 

𝒂 = 𝟒 

ہو، تو

𝟑𝒂 = 𝟑 × 𝒂 = 𝟑 × 𝟒 = 𝟏𝟐

𝒂³ = 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 = 𝟒 × 𝟒 × 𝟒 = 𝟔𝟒

مثال ۲ اگر 

𝒃 = 𝟓

ہو، تو 

𝟒𝒃² 

اور

𝟐𝒃⁴

کے درمیان تمیز کیجیے۔ 

یہاں

𝟒𝒃² = 𝟒 × 𝒃 × 𝒃 = 𝟒 × 𝟓 × 𝟓 = 𝟏𝟎𝟎

 ہے۔ جب کہ

𝟐𝒃⁴ = 𝟐 × 𝒃 × 𝒃 × 𝒃 × 𝒃 = 𝟐 × 𝟓 × 𝟓 × 𝟓 × 𝟓 = 𝟏𝟐𝟓𝟎

ہے۔

مثال ۳ اگر 

𝒙 = 𝟏 

ہو، تو 

𝟓𝒙⁴

کی قیمت معلوم کیجیے۔ یہاں

𝟓𝒙⁴ = 𝟓 × 𝒙 × 𝒙 × 𝒙 × 𝒙 = 𝟓 × 𝟏 × 𝟏 × 𝟏 × 𝟏 = 𝟓

نُکتہ۔ مبتدی کو یہ مشاہدہ کرنا چاہیے کہ 𝟏 کی ہر قوت 𝟏 ہی ہوتی ہے۔

مثال ٤ اگر 

𝒂 = 𝟒 

اور 

𝒙 = 𝟏

 ہو، تو 

𝟓𝒙ᵃ

 کی قیمت معلوم کیجیے۔ 

𝟓𝒙ᵃ = 𝟓 × 𝒙ᵃ = 𝟓 × 𝟏ᵃ = 𝟓 × 𝟏⁴ = 𝟓 × 𝟏 = 𝟓

٩. علامتِ استمرار، یعنی ··· یا ... ، کو "اور اسی طرح آگے" پڑھا جاتا ہے۔

١٠. علامتِ استخراج، یعنی ∴، کو "لہٰذا" یا "پس" پڑھا جاتا ہے اور علامتِ علت، یعنی ∵، کو "کیونکہ" یا "چونکہ" پڑھا جاتا ہے۔

​١١. حسابی ضرب میں حاصلِ ضرب کے عوامل کی ترتیب کوئی اہمیت نہیں رکھتی (ترتیب سے کوئی فرق نہیں پڑتا)۔ چنانچہ 

𝟑 × 𝟒 = 𝟒 × 𝟑

اسی طرح الجبر میں 

𝒂𝒃 اور 𝒃𝒂

 میں سے ہر ایک ان دو مقداروں کے حاصلِ ضرب کو ظاہر کرتا ہے جن کی نمائندگی 

𝒂 اور 𝒃

 کے حروف کرتے ہیں، اور اس لیے دونوں کی قیمت یکساں ہوتی ہے۔ اگرچہ یہ بات غیر اہم ہے کہ حاصلِ ضرب کے عوامل کس ترتیب میں لکھے جائیں، لیکن عام طریقہ یہی ہے کہ انہیں حرفی ترتیب (الفابیٹیکل آرڈر) سے مرتب کیا جائے۔ اکائی (یعنی ۱) سے بڑے کسری ضریبوں (فریکشنل کوئیفیشنٹ) کو عُمُومًا کسرِ عام/غیر واجب (امپراپر فریکشنز) کی صورت میں ہی رکھا جاتا ہے۔

​مثال: اگر 

𝒂 = 𝟔, 𝒙 = 𝟕, 𝒛 = 𝟓 

ہو، تو 

𝟏𝟑/𝟏𝟎 𝒂𝒙𝒛

 کی قیمت معلوم کیجیے۔

یہاں

(𝟏𝟑/𝟏𝟎) 𝒂𝒙𝒛 = (𝟏𝟑/𝟏𝟎) × 𝟔 × 𝟕 × 𝟓 = 𝟐𝟕𝟑

ہے۔

​مشق ۱. الف

​اگر 

𝒂 = 𝟕, 𝒃 = 𝟐, 𝒄 = 𝟏, 𝒙 = 𝟓, 𝒚 = 𝟑 

ہو، تو درج ذیل کی قیمتیں معلوم کیجیے

𝟏​. 𝟏𝟒𝒙

حل

𝟏𝟒 × 𝟓 = 𝟕𝟎

𝟐​. 𝒙³

حل

𝟓³ = 𝟓 × 𝟓 × 𝟓 = 𝟏𝟐𝟓

𝟑. 𝟑𝒂𝒙

حل

𝟑 × 𝟕 × 𝟓 = 𝟏𝟎𝟓

𝟒​. 𝒂³

حل

𝟕³ = 𝟕 × 𝟕 × 𝟕 = 𝟑𝟒𝟑

​𝟓. 𝟓𝒃𝒚

حل

𝟓 × 𝟐 × 𝟑 = 𝟑𝟎

𝟔​. 𝒃⁵

حل

𝟐⁵ = 𝟐 × 𝟐 × 𝟐 × 𝟐 × 𝟐 = 𝟑𝟐

𝟕​. 𝟑𝒃²

حل

𝟑 × 𝟐² = 𝟑 × 𝟒 = 𝟏𝟐

𝟖​. 𝟐𝒂𝒙

حل

𝟐 × 𝟕 × 𝟓 = 𝟕𝟎

𝟗​. 𝟔𝒄⁴

حل

𝟔 × 𝟏⁴ = 𝟔 × 𝟏 = 𝟔

𝟏​𝟎. 𝟒𝒚³

حل

𝟒 × 𝟑³ = 𝟒 × 𝟐𝟕 = 𝟏𝟎𝟖

​اگر 

𝒂 = 𝟖, 𝒃 = 𝟓, 𝒄 = 𝟒, 𝒙 = 𝟏, 𝒚 = 𝟑 

ہو، تو درج ذیل کی قیمتیں معلوم کیجیے

𝟏​𝟏. 𝟑𝒄²

حل

𝟑 × 𝟒² = 𝟑 × 𝟏𝟔 = 𝟒𝟖

​𝟏𝟐. 𝟕𝒚³

حل

𝟕 × 𝟑³ = 𝟕 × 𝟐𝟕 = 𝟏𝟖𝟗

​𝟏𝟑. 𝟓𝒂𝒃

حل

𝟓 × 𝟖 × 𝟓 = 𝟐𝟎𝟎

​𝟏𝟒. 𝟗𝒙𝒚

حل

𝟗 × 𝟏 × 𝟑 = 𝟐𝟕

𝟏​𝟓. 𝟖𝒃³

حل

𝟖 × 𝟓³ = 𝟖 × 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟔​. 𝟑𝒙⁵

حل

𝟑 × 𝟏⁵ = 𝟑 × 𝟏 = 𝟑

​𝟏𝟕. 𝒙⁸

حل

𝟏⁸ = 𝟏

​𝟏𝟖. 𝟕𝒚⁴

حل

𝟕 × 𝟑⁴ = 𝟕 × 𝟖𝟏 = 𝟓𝟔​𝟕

​𝟏𝟗. 𝒄ˣ

حل

𝟒¹ = 𝟒

​𝟐𝟎. 𝒃ʸ

حل

𝟓³ = 𝟏𝟐𝟓

​𝟐𝟏. 𝒚ᶜ

حل

3⁴ = 𝟖𝟏

​𝟐𝟐. 𝒙ᵇ

حل

𝟏⁵ = 𝟏

​𝟐𝟑. 𝒚ᵇ

حل

𝟑⁵ = 𝟐𝟒𝟑

​𝟐𝟒. 𝒂ʸ

حل

8³ = 𝟓𝟏𝟐

​𝟐𝟓. 𝒃ˣ

حل 

𝟓¹ = 𝟓

​اگر 

𝒂 = 𝟓, 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = 𝟔​, 𝒙 = 𝟒 

ہو، تو درج ذیل کی قیمتیں معلوم کیجیے

​𝟐𝟔​. (𝟏/𝟒) 𝒙⁴

حل

(𝟏/𝟒) × 𝟒⁴ = (𝟏/𝟒) × 𝟐𝟓𝟔​ = 𝟔​𝟒

​𝟐𝟕. (𝟓/𝟏𝟐) 𝒄³

حل

(𝟓/𝟏𝟐) × 𝟔​³ = (𝟓/𝟏𝟐) × 𝟐𝟏𝟔​ = 𝟓 × 𝟏𝟖 = 𝟗𝟎

​𝟐𝟖. (𝟑/𝟖) 𝒙³

حل

(𝟑/𝟖) × 𝟒³ = (𝟑/𝟖) × 𝟔​𝟒 = 𝟑 × 𝟖 = 𝟐𝟒

​𝟐𝟗. (𝟏/𝟏𝟎) 𝒂𝒙

حل

(𝟏/𝟏𝟎) × 𝟓 × 𝟒 = 𝟐𝟎/𝟏𝟎 = 𝟐

​𝟑𝟎. 𝟑ˣ

حل

𝟑⁴ = 𝟖𝟏

​𝟑𝟏. 𝟐ᶜ

حل

𝟐⁶ = 𝟔​𝟒

​𝟑𝟐. 𝟖ᵇ

حل

𝟖¹ = 𝟖

𝟑​𝟑. 𝟕ˣ

حل

𝟕⁴ = 𝟐𝟒𝟎𝟏

​𝟑𝟒. (𝟕/𝟏𝟓) 𝒂𝒄𝒙

حل

(𝟕/𝟏𝟓) × 𝟓 × 𝟔​ × 𝟒 = (𝟕/𝟏𝟓) × 𝟏𝟐𝟎 = 𝟕 × 𝟖 = 𝟓𝟔​

​𝟑𝟓. (𝟏/𝟖) 𝒃𝒄𝒙

حل

(𝟏/𝟖) × 𝟏 × 𝟔​ × 𝟒 = 𝟐𝟒/𝟖 = 𝟑 

١٢. جب متعدد مختلف مقداروں کو آپس میں ضرب دیا جائے تو وہی طریقۂ علامت نگاری اپنایا جاتا ہے جو دفعہ 𝟕 میں بیان ہوا ہے۔ چنانچہ

𝒂𝒂𝒃𝒃𝒃𝒃𝒄𝒅𝒅𝒅
کو
𝒂²𝒃⁴𝒄𝒅³

لکھا جاتا ہے۔ اور اس کے برعکس

𝟕𝒂³𝒄𝒅²

کا وہی مفہوم ہے جو

𝟕 × 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 × 𝒄 × 𝒅 × 𝒅

کا ہے۔

​مثال ۱ اگر

𝒙 = 𝟓, 𝒚 = 𝟑
ہو، تو
𝟒𝒙²𝒚³

کی قیمت معلوم کیجیے۔

 𝟒𝒙²𝒚³ = 𝟒 × 𝟓² × 𝟑³ = 𝟒 × 𝟐𝟓 × 𝟐𝟕 = 𝟐𝟕𝟎𝟎

 مثال ۲ اگر 

𝒂 = 𝟒, 𝒃 = 𝟗, 𝒙 = 𝟔

 ہو، تو 

(𝟖𝒃𝒙²)/(𝟐𝟕𝒂³)

 کی قیمت معلوم کیجیے۔

(𝟖𝒃𝒙²)/(𝟐𝟕𝒂³) = (𝟖 × 𝟗 × 6²)/(𝟐𝟕 × 𝟒³) = (𝟖 × 𝟗 × 𝟑𝟔)/(𝟐𝟕 × 𝟔𝟒) = 𝟐𝟓𝟗𝟐/𝟏𝟕𝟐𝟖 = 𝟑/𝟐 = 𝟏½

١٣. اگر کسی حاصلِ ضرب کا ایک عامل 𝟎 (صفر) کے برابر ہو، تو وہ حاصلِ ضرب بھی لازمًا 𝟎 کے برابر ہوگا، خواہ دیگر عوامل کی قیمتیں کچھ بھی ہوں۔ ایسے عامل کو عمومًا صفری عامل (زیرو فیکٹر) کہا جاتا ہے۔

​مثال کے طور پر، اگر 

𝒙 = 𝟎

 ہو، تو 

𝒂𝒃³𝒙𝒚²

 میں ایک صفری عامل شامل ہے۔ اس لیے جب  

𝒙 = 𝟎

 ہو تو 

𝒂𝒃³𝒙𝒚² = 𝟎

 ہوگا، خواہ 

𝒂, 𝒃, 𝒚 

کی قیمتیں کچھ بھی ہوں۔

​اسی طرح، اگر 

𝒄 = 𝟎 

ہو، تو 

𝒄³ = 𝟎

 اس لیے 

𝒂𝒃²𝒄³ = 𝟎

 ہوگا، خواہ 

𝒂 اور 𝒃 

کی قیمتیں کچھ بھی ہوں۔

​نُکتہ۔ 𝟎 کی ہر قوت 𝟎 ہی ہوتی ہے۔ اور 

𝒂⁰

 کو ہمیشہ 𝟏 ہی تسلیم کیا جاتا ہے، بشرطیکہ 

𝒂 ≠ 𝟎

 ہو۔

مشق ۱. ب 

​اگر 

𝒂 = 𝟕, 𝒃 = 𝟐, 𝒄 = 𝟎, 𝒙 = 𝟓, 𝒚 = 𝟑 

ہو، تو درج ذیل کی قیمتیں معلوم کیجیے

𝟏. 𝟒𝒂𝒙²

حل

𝟒 × 𝟕 × 𝟓² = 𝟐𝟖 × 𝟐𝟓 = 𝟕𝟎𝟎

​𝟐. 𝒂³𝒃

حل

𝟕³ × 𝟐 = 𝟑𝟒𝟑 × 𝟐 = 𝟔𝟖𝟔

​𝟑. 𝟖𝒃²𝒚

حل

𝟖 × 𝟐² × 𝟑 = 𝟖 × 𝟒 × 𝟑 = 𝟗𝟔

𝟒​. 𝟑𝒙𝒚²

حل

𝟑 × 𝟓 × 𝟑² = 𝟏𝟓 × 𝟗 = 𝟏𝟑𝟓

𝟓​. (𝟑/𝟒) 𝒃²𝒙

حل

(𝟑/𝟒) × 𝟐² × 𝟓 = (𝟑/𝟒) × 𝟒 × 𝟓 = 𝟑 × 𝟓 = 𝟏𝟓

​𝟔. (𝟓/𝟔) 𝒃³𝒚²

حل

(𝟓/𝟔) × 𝟐³ × 𝟑² = (𝟓/𝟔) × 𝟖 × 𝟗 = (𝟓/𝟔) × 𝟕𝟐 = 𝟓 × 𝟏𝟐 = 𝟔𝟎

​𝟕. (𝟐/𝟓) 𝒙𝒚⁴

حل

(𝟐/𝟓) × 𝟓 × 𝟑⁴ = 𝟐 × 𝟖𝟏 = 𝟏𝟔𝟐

𝟖. 𝒂³𝒄

حل

𝟕³ × 𝟎 = 𝟑𝟒𝟑 × 𝟎 = 𝟎

𝟗​. 𝒂²𝒄𝒚

حل

𝟕² × 𝟎 × 𝟑 = 𝟎

​𝟏𝟎. 𝟖𝒙³𝒚

حل

𝟖 × 𝟓³ × 𝟑 = 𝟖 × 𝟏𝟐𝟓 × 𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟑 = 𝟑𝟎𝟎𝟎

 ​اگر 

𝒂 = 𝟐, 𝒃 = 𝟑, 𝒄 = 𝟏, 𝒑 = 𝟎, 𝒕 = 𝟒, 𝒓 = 𝟔

ہو، تو درج ذیل کی قیمتیں معلوم کیجیے

​𝟏𝟏. 𝟑𝒂²𝒓

حل

𝟑 × 𝟐² × 𝟔 = 𝟑 × 𝟒 × 𝟔 = 𝟕𝟐

𝟏​𝟐. 𝟖𝒂𝒃²

حل

𝟖 × 𝟐 × 𝟑² = 𝟏𝟔 × 𝟗 = 𝟏𝟒𝟒

​𝟏𝟑. (𝟔𝒂³𝒄)/𝒃²

حل

(𝟔 × 𝟐³ × 𝟏)/𝟑² = (𝟔 × 𝟖 × 𝟏) / 𝟗 = 𝟒𝟖/𝟗 = 𝟏𝟔/𝟑 = 𝟓⅓

​𝟏𝟒. (𝟒𝒄𝒓²)/(𝟗𝒂³)

حل

(𝟒 × 𝟏 × 𝟔²) / (𝟗 × 𝟐³) = (𝟒 × 𝟑𝟔) / (𝟗 × 𝟖) = 𝟏𝟒𝟒/𝟕𝟐 = 𝟐

​𝟏𝟓. 𝟑𝒂²𝒃𝒄

حل

𝟑 × 𝟐² × 𝟑 × 𝟏 = 𝟑 × 𝟒 × 𝟑 × 𝟏 = 𝟑𝟔

​𝟏𝟔. (𝟓/𝟔) 𝒃𝒂ʳ

حل

(𝟓/𝟔) × 𝟑 × 𝟐⁶ = (𝟓/𝟔) × 𝟑 × 𝟔𝟒 = (𝟓/𝟐) × 𝟔𝟒 = 𝟓 × 𝟑𝟐 = 𝟏𝟔𝟎

​𝟏𝟕. (𝟖𝒃)/(𝟗𝒂ʳ)

حل

(𝟖 × 𝟑) / (𝟗 × 𝟐⁶) = 𝟐𝟒 / (𝟗 × 𝟔𝟒) = 𝟐𝟒/𝟓𝟕𝟔 = 𝟏/𝟐𝟒

​𝟏𝟖. 𝟓𝒂ᵇ𝒄ʳ

حل

𝟓 × 𝟐³ × 𝟏⁶ = 𝟓 × 𝟖 × 𝟏 = 𝟒𝟎

​𝟏𝟗. (𝟐𝒂²𝒑)/(𝟕𝒓)

حل

چونکہ
𝒑 = 𝟎
ہے، تو
(𝟐 × 𝟐² × 𝟎)/(𝟕 × 𝟔) = 𝟎/𝟒𝟐 = 𝟎

​𝟐𝟎. 𝟑ᵃ𝟐ᵇ

حل

𝟑² × 𝟐³ = 𝟗 × 𝟖 = 𝟕𝟐

​𝟐𝟏. 𝟐ʳ𝒂⁵

حل

𝟐⁶ × 𝟐⁵ = 𝟔𝟒 × 𝟑𝟐 = 𝟐𝟎𝟒𝟖

​𝟐𝟐. 𝒄ᵇ𝒃ᵗ

حل

𝟏³ × 𝟑⁴ = 𝟏 × 𝟖𝟏 = 𝟖𝟏

​𝟐𝟑. (𝟓𝒂ʳ𝒃ᵗ)/(𝟔𝟒𝒓ᵃ)

حل

(𝟓 × 𝟐⁶ × 𝟑⁴)/(𝟔𝟒 × 𝟔²) = (𝟓 × 𝟔𝟒 × 𝟖𝟏)/(𝟔𝟒 × 𝟑𝟔) = (𝟓 × 𝟖𝟏)/𝟑𝟔 = 𝟒𝟎𝟓/𝟑𝟔 = 𝟒𝟓/𝟒 = 𝟏𝟏¼

​𝟐𝟒. (𝟐𝟕𝒂ᵗ)/𝟑𝟐

حل

(𝟐𝟕 × 2⁴)/𝟑𝟐 = (𝟐𝟕 × 𝟏𝟔)/𝟑𝟐 = 𝟐𝟕/𝟐 = 𝟏𝟑½

​𝟐𝟓. 𝟔𝟒𝒕ʳ

حل

𝟔𝟒 × 𝟒⁶ = 𝟔𝟒 × 𝟒𝟎𝟗𝟔 = 𝟐𝟔𝟐,𝟏𝟒𝟒

١٤. تعریف کسی دی گئی عبارت کا جذر المربع (سکوئر رُوٹ) وہ مقدار ہوتی ہے جس کا مربع (یعنی دوسری قوت)، اس دی گئی عبارت کے برابر ہو۔ چنانچہ 𝟖𝟏 کا جذر المربع 𝟗 ہے، کیونکہ 𝟗² = 𝟖𝟏۔

𝒂

کے جذر المربع کو

²√𝒂 

یا زیادہ سادہ طور پر 

√𝒂

 سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اسی طرح کسی عبارت کا جذر المكعب (کیوب رُوٹ)، جذر الرابع (فورتھ رُوٹ)، جذر الخامس (فِفتھ رُوٹ) وغیرہ وہ مقدار ہوتی ہے جس کی تیسری، چوتھی، پانچویں وغیرہ قوت اس دی گئی عبارت کے برابر ہو۔ ان جذور (روٹس) کو علامتوں 

³√، ⁴√، ⁵√ 

وغیرہ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

امثلہ

³√𝟐𝟕 = 𝟑 ∴ 𝟑³ = 𝟐𝟕 

⁵√𝟑𝟐 = 𝟐 ∴ 𝟐⁵ = 𝟑𝟐

علامت √ کو بسا اوقات علامتِ جذر (ریڈیکل سائن) کہا جاتا ہے۔

مثال ١

 𝟓√(𝟔 𝒂³𝒃⁴𝒄)

کی قیمت معلوم کیجیے، جب 

𝒂 = 𝟑, 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = 𝟖 

ہو۔

𝟓√(𝟔 𝒂³𝒃⁴𝒄) = 𝟓 × √(𝟔 × 𝟑³ × 𝟏⁴ × 𝟖) = 𝟓 × √(𝟔 × 𝟐𝟕 × 𝟏 × 𝟖) = 𝟓 × √𝟏𝟐𝟗𝟔 = 𝟓 × 𝟑𝟔 = 𝟏𝟖𝟎

مثال ٢

³√(𝒂𝒃⁴ / 𝟖𝒙³)

کی قیمت معلوم کیجیے، جب 

𝒂 = 𝟗, 𝒃 = 𝟑, 𝒙 = 𝟓 

ہو۔

³√(𝒂𝒃⁴ / 𝟖𝒙³) = ³√(𝟗 × 𝟑⁴ / (𝟖 × 𝟓³)) = ³√(𝟗 × 𝟖𝟏 / (𝟖 × 𝟏𝟐𝟓)) = ³√(𝟕𝟐𝟗 / 𝟏𝟎𝟎𝟎) = ³√((𝟗 × 𝟗 × 𝟗) / 𝟏𝟎𝟎𝟎) = 𝟗/𝟏𝟎

١٥. اب ہم ان عبارتوں کی عددی قیمت معلوم کرنے کی طرف بڑھتے ہیں جو ایک سے زیادہ حدود پر مشتمل ہوتی ہیں۔ ان میں سے ہر ایک حد کے ساتھ پہلے سے دیے گئے قواعد کے مطابق الگ الگ عمل کیا جا سکتا ہے، اور تمام حدود کو باہم ملانے سے پوری عبارت کی عددی قیمت واضح ہو جاتی ہے۔

١٦. ہم پہلے ہی، دفعہ 𝟖 میں، ضریب (کوئیفیشنٹ) اور قوت نما (انڈیکس) کے درمیان محتاط طریقے سے تمیز کرنے کی اہمیت کی طرف توجہ مبذول کروا چکے ہیں مبتدی (نئے سیکھنے والوں) سے ہونے والی غلطیوں کا ایک بڑا سبب ان کے درمیان غلط فہمی ہے، اس لیے اس تمیز پر ایک بار پھر زور دینا بے جا نہ ہوگا۔

مثال ١ جب 

𝒄 = 𝟓

 ہو، تو 

𝒄⁴ - 𝟒𝒄 + 𝟐𝒄³ - 𝟑𝒄²

 کی قیمت معلوم کیجیے۔

یہاں

𝒄⁴ = 𝟓⁴ = 𝟓 × 𝟓 × 𝟓 × 𝟓 = 𝟔𝟐𝟓

𝟒𝒄 = 𝟒 × 𝟓 = 𝟐𝟎

𝟐𝒄³ = 𝟐 × 𝒄³ = 𝟐 × 𝟓 × 𝟓 × 𝟓 = 𝟐𝟓𝟎

𝒄² = 𝟑 × 𝒄² = 𝟑 × 𝟓 × 𝟓 = 𝟕𝟓. 

لہٰذا عبارت کی قیمت

 = 𝟔𝟐𝟓 - 𝟐𝟎 + 𝟐𝟓𝟎 - 𝟕𝟓 = 𝟕𝟖𝟎. 

مثال ٢ جب 

𝒑 = 𝟗, 𝒓 = 𝟔, 𝒌 = 𝟒 

ہو، تو درج ذیل کی قیمت معلوم کیجیے

𝟏/𝟑 ³√((𝒑𝒓)/𝒌²) + √(𝟑𝒌 + 𝒌³ + 𝟓) - (𝟐𝒓²)/(𝟗𝒌). 

𝟏/𝟑 ³√((𝒑𝒓)/𝒌²) + √(𝟑𝒌 + 𝒌³ + 𝟓) - (𝟐𝒓²)/(𝟗𝒌) 

= 𝟏/𝟑 ³√((𝟓𝟒)/𝟏𝟔) + √(𝟏𝟐 + 𝟔𝟒 + 𝟓) - (𝟐 × 𝟑𝟔)/(𝟗 × 𝟒) 

= 𝟏/𝟑 ³√(𝟐𝟕/𝟖) + √(𝟖𝟏) - 𝟐 

= 𝟏/𝟑 × 𝟑/𝟐 + 𝟗 - 𝟐 

= 𝟕½. 

١٧. دفعہ 𝟏𝟑 کی رو سے، کوئی بھی ایسی حد جس میں صفری عامل (زیرو فیکٹر) شامل ہو، وہ خود بھی صفر بن جاتا ہے، اور اسے صفری حد (زیرو ٹرم) کہا جا سکتا ہے۔

مثال ۱ اگر 

𝑎 = 𝟐, 𝑏 = 𝟎, 𝒙 = 𝟑, 𝒚 = 𝟏 

ہو، تو درج ذیل کی قیمت معلوم کیجیے

𝟒𝑎³ - 𝑎𝑏³ + 𝟐𝒙𝒚² + 𝟑𝑎𝑏𝒙. 

عبارت 

(𝟒 × 𝟐³) - 𝟎 + (𝟐 × 𝟑 × 𝟏) + 𝟎 = 𝟑𝟐 - 𝟎 + 𝟔 + 𝟎 = 𝟑𝟖. 

نُکتہ۔ دونوں صفری حدود نتیجہ پر کوئی اثر نہیں ڈالتیں۔

مثال ۲ 

𝟑/𝟓 𝒙² - 𝑎²𝒚 + 𝟕𝑎𝑏𝒙 - 𝟓/𝟐 𝒚³ 

کی قیمت معلوم کیجیے، جب

𝑎 = 𝟓, 𝑏 = 𝟎, 𝒙 = 𝟕, 𝒚 = 𝟏 

ہو۔

𝟑/𝟓 𝒙² - 𝑎²𝒚 + 𝟕𝑎𝑏𝒙) - 𝟓/𝟐 𝒚³ 

= 𝟑/𝟓 (𝟕)² - (𝟓)² × (𝟏) + 𝟕 × (𝟓) × (𝟎) × (𝟕) - 𝟓/𝟐 × 𝟏³ 

= 𝟏𝟒𝟕/𝟓 - 𝟐𝟓 + 𝟎 - 𝟓/𝟐 

= 𝟏𝟒𝟕/𝟓 - 𝟐𝟓/𝟏 - 𝟓/𝟐. 

مخرجوں کا ذواضعافِ اقل (ایل۔سی۔ایم آف ڈینومینیٹرز) 

(𝟓 × 𝟏 × 𝟐) = 𝟏𝟎. 

∴ (𝟏𝟒𝟕 × 𝟐)/(𝟓 × 𝟐) - (𝟐𝟓 × 𝟏𝟎)/(𝟏 × 𝟏𝟎) - (𝟓 × 𝟓)/(𝟐 × 𝟓) = 𝟐𝟗𝟒/𝟏𝟎 - 𝟐𝟓𝟎/𝟏𝟎 - 𝟐𝟓/𝟏𝟎 

= (𝟐𝟗𝟒 - 𝟐𝟓𝟎 - 𝟐𝟓)/𝟏𝟎 

= 𝟏𝟗/𝟏𝟎 ∨ 𝟏⁹⁄₁₀. 

نُکتہ۔ صفری حد نتیجہ پر کوئی اثر نہیں ڈالتی۔

١٨. مشقی سوالات حل کرتے وقت طالبِ علم کو مندرجہ ذیل اشارات و ہدایت پر خصوصیت سے توجہ دینی چاہیے

١. اندازِ تحریر اور ترتیب کی صفائی کو جتنی بھی اہمیت دی جائے کم ہے۔ مبتدی (نئے سیکھنے والے) کو یاد رکھنا چاہیے کہ صفائی بذاتِ خود صحت و درستگی کا پیش خیمہ ہوتی ہے۔

٢. علامت = صرف اور صرف ان مقداروں کو باہم جوڑنے کے لیے استعمال ہونی چاہیے جو واقعی آپس میں برابر ہوں۔ مبتدیوں کو خُصُوصًا اس بات کا خیال رکھنا چاہیے کہ مساوات کی علامت کو کسی ابہام یا غیر متعین مفہوم میں استعمال نہ کریں۔

٣. جب تک عبارتیں بہت چھوٹی نہ ہوں، حل کے مختلف مراحل میں مساوات کی علامتوں (=) کو ایک دوسرے کے بالکل نیچے شاقُولی (عمودی / ورٹیکلی) ترتیب سے رکھنا چاہیے۔

٤. یہ بات واضح طور پر سامنے آنی چاہیے کہ ہر نیا مرحلہ (قدم) اپنے سے پچھلے مرحلے سے کس طرح حاصل ہوا ہے اس مقصد کے لیے بعض اوقات مختصر لفظی وضاحتیں شامل کر لینا بھی مناسب ہوگا، جس کی اہمیت آگے چل کر واضح ہوگی۔

مشق ۱. د

اگر 

𝑎 = 𝟐, 𝑏 = 𝟑, 𝑐 = 𝟏, 𝑑 = 𝟎 

ہو، تو درج ذیل کی عددی قیمت معلوم کیجیے

𝟏. 𝟔𝑎 + 𝟓𝑏 - 𝟖𝑐 + 𝟗𝑑 

حل

= 𝟔(𝟐) + 𝟓(𝟑) ― 𝟖(𝟏) + 𝟗(𝟎) 

= 𝟏𝟐 + 𝟏𝟓 ― 𝟖 + 𝟎 = 𝟏𝟗

𝟐. 𝟑𝑎 - 𝟒𝑏 + 𝟔𝑐 + 𝟓𝑑

حل

= 𝟑(𝟐) - 𝟒(𝟑) + 𝟔(𝟏) + 𝟓(𝟎) 

= 𝟔 - 𝟏𝟐 + 𝟔 + 𝟎 = 𝟎

𝟑. 𝟔𝑎𝑏 - 𝟑𝑐𝑑 + 𝟐𝑑𝑎 - 𝟓𝑐𝑏 + 𝟐𝑑𝑏

حل

= 𝟔(𝟐)(𝟑) - 𝟑(𝟏)(𝟎) + 𝟐(𝟎)(𝟐) - 𝟓(𝟏)(𝟑) + 𝟐(𝟎)(𝟑) 

= 𝟑𝟔 - 𝟎 + 𝟎 - 𝟏𝟓 + 𝟎 = 𝟐𝟏

𝟒. 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑 + 𝑐𝑑𝑎 + 𝑑𝑎𝑏 

حل

= (𝟐)(𝟑)(𝟏) + (𝟑)(𝟏)(𝟎) + (𝟏)(𝟎)(𝟐) + (𝟎)(𝟐)(𝟑) 

= 𝟔 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = 𝟔

𝟓. 𝟑𝑎𝑏𝑐 - 𝟐𝑏𝑐𝑑 + 𝟐𝑐𝑑𝑎 - 𝟒𝑑𝑎𝑏 

حل

= 𝟑(𝟐)(𝟑)(𝟏) - 𝟐(𝟑)(𝟏)(𝟎) + 𝟐(𝟏)(𝟎)(𝟐) - 𝟒(𝟎)(𝟐)(𝟑) 

= 𝟏𝟖 - 𝟎 + 𝟎 - 𝟎 = 𝟏𝟖

𝟔. 𝟐𝑏𝑐 + 𝟑𝑐𝑑 - 𝟒𝑑𝑎 + 𝟓𝑎𝑏 

= 𝟐(𝟑)(𝟏) + 𝟑(𝟏)(𝟎) - 𝟒(𝟎)(𝟐) + 𝟓(𝟐)(𝟑) 

= 𝟔 + 𝟎 - 𝟎 + 𝟑𝟎 = 𝟑𝟔

𝟕. 𝟑𝑏𝑐𝑑 + 𝟓𝑐𝑑𝑎 - 𝟕𝑑𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 

حل

= 𝟑(𝟑)(𝟏)(𝟎) + 𝟓(𝟏)(𝟎)(𝟐) - 𝟕(𝟎)(𝟐)(𝟑) + (𝟐)(𝟑)(𝟏) 

= 𝟎 + 𝟎 - 𝟎 + 𝟔 = 𝟔

𝟖. 𝑎² + 𝑏² + 𝑐² + 𝑑² 

حل

= 𝟐² + 𝟑² + 𝟏² + 𝟎² 

= 𝟒 + 𝟗 + 𝟏 + 𝟎 = 𝟏𝟒

𝟗. 𝟐𝑎² + 𝟑𝑏³ - 𝟒𝑐⁴ 

حل

= 𝟐(𝟐²) + 𝟑(𝟑³) - 𝟒(𝟏⁴) 

= 𝟐(𝟒) + 𝟑(𝟐𝟕) - 𝟒(𝟏) 

= 𝟖 + 𝟖𝟏 - 𝟒 

= 𝟖𝟓

𝟏𝟎. 𝑎⁴ + 𝑏⁴ - 𝑐⁴ 

حل

= 𝟐⁴ + 𝟑⁴ - 𝟏⁴ 

= 𝟏𝟔 + 𝟖𝟏 - 𝟏 

= 𝟗𝟔

اگر 

𝑎 = 𝟏, 𝑏 = 𝟐, 𝑐 = 𝟑, 𝑑 = 𝟎

ہو، تو درج ذیل کی عددی قیمت معلوم کیجیے

𝟏𝟏. 𝑎³ + 𝑏³ + 𝑐³ + 𝑑³ 

حل

= 𝟏³ + 𝟐³ + 𝟑³ + 𝟎³ 

= 𝟏 + 𝟖 + 𝟐𝟕 + 𝟎 

= 𝟑𝟔

𝟏𝟐. 𝟏/𝟐 𝑏(𝑐³) - 𝑎³ - 𝑏³ - 𝟑/𝟒 𝑎(𝑏³)𝑐 

حل

= 𝟏/𝟐 (𝟐)(𝟑³) - 𝟏³ - 𝟐³ - 𝟑/𝟒 (𝟏)(𝟐³)(𝟑) 

= 𝟏/𝟐 (𝟐)(𝟐𝟕) - 𝟏 - 𝟖 - 𝟑/𝟒 (𝟏)(𝟖)(𝟑) 

= 𝟐𝟕 - 𝟏 - 𝟖 - 𝟏𝟖 

= 𝟎

𝟏𝟑. 𝟑𝑎𝑏𝑐 - 𝑏²𝑐 - 𝟔𝑎³ 

حل

= 𝟑(𝟏)(𝟐)(𝟑) - (𝟐²)(𝟑) - 𝟔(𝟏³) 

= 𝟏𝟖 - (𝟒)(𝟑) - 𝟔(𝟏) 

= 𝟏𝟖 - 𝟏𝟐 - 𝟔 

= 𝟎

𝟏𝟒. 𝟐𝑎² + 𝟐𝑏² + 𝟐𝑐² + 𝟐𝑑² - 𝟐𝑏𝑐 - 𝟐𝑐𝑑 - 𝟐𝑑𝑎 - 𝟐𝑎𝑏 

حل

= 𝟐(𝟏²) + 𝟐(𝟐²) + 𝟐(𝟑²) + 𝟐(𝟎²) - 𝟐(𝟐)(𝟑) - 𝟐(𝟑)(𝟎) - 𝟐(𝟎)(𝟏) - 𝟐(𝟏)(𝟐) 

= 𝟐(𝟏) + 𝟐(𝟒) + 𝟐(𝟗) + 𝟎 - 𝟏𝟐 - 𝟎 - 𝟎 - 𝟒 

= 𝟐 + 𝟖 + 𝟏𝟖 - 𝟏𝟐 - 𝟒 

= 𝟏𝟐

𝟏𝟓. 𝑎² + 𝟐𝑏² + 𝟐𝑐² + 𝑑² + 𝟐𝑎𝑏 + 𝟐𝑏𝑐 + 𝟐/𝟕 𝑐𝑑

حل

= 𝟏² + 𝟐(𝟐²) + 𝟐(𝟑²) + 𝟎² + 𝟐(𝟏)(𝟐) + 𝟐(𝟐)(𝟑) + 𝟐/𝟕 (𝟑)(𝟎) 

= 𝟏 + 𝟐(𝟒) + 𝟐(𝟗) + 𝟎 + 𝟒 + 𝟏𝟐 + 𝟎 

= 𝟏 + 𝟖 + 𝟏𝟖 + 𝟒 + 𝟏𝟐 

= 𝟒𝟑

𝟏𝟔. 𝟐𝑐² + 𝟐𝑎² + 𝟐𝑏² - 𝟒𝑐𝑏 + 𝟔𝑎𝑏𝑐𝑑 

حل

= 𝟐(𝟑²) + 𝟐(𝟏²) + 𝟐(𝟐²) - 𝟒(𝟑)(𝟐) + 𝟔(𝟏)(𝟐)(𝟑)(𝟎) 

= 𝟐(𝟗) + 𝟐(𝟏) + 𝟐(𝟒) - 𝟐𝟒 + 𝟎 

= 𝟏𝟖 + 𝟐 + 𝟖 - 𝟐𝟒 = 𝟒

𝟏𝟕. 𝟏𝟑𝑎² + 𝟏𝟏/𝟗 𝑐⁴ + 𝟐𝟎𝑎𝑏 - 𝟏𝟔𝑎𝑐 - 𝟏𝟔𝑏𝑐

حل

= 𝟏𝟑(𝟏²) + 𝟏𝟏/𝟗 (𝟑⁴) + 𝟐𝟎(𝟏)(𝟐) - 𝟏𝟔(𝟏)(𝟑) - 𝟏𝟔(𝟐) (𝟑) 

= 𝟏𝟑(𝟏) + 𝟏𝟏/𝟗 (𝟖𝟏) + 𝟒𝟎 - 𝟒𝟖 - 𝟗𝟔 

= 𝟏𝟑 + 𝟗𝟗 + 𝟒𝟎 - 𝟒𝟖 - 𝟗𝟔 

= 𝟏𝟓𝟐 - 𝟏𝟒𝟒 

= 𝟖

𝟏𝟖. 𝟔𝑎𝑏 - 𝟒/𝟑 𝑎𝑐² - 𝟐𝑎 + 𝟏/𝟖 𝑏⁴ - 𝟑𝑑 + 𝟔/𝟗 𝑐³

حل

= 𝟔(𝟏)(𝟐) - 𝟒/𝟑 (𝟏)(𝟑²) - 𝟐(𝟏) + 𝟏/𝟖 (𝟐⁴) - 𝟑(𝟎) + 𝟔/𝟗 (𝟑³) 

= 𝟏𝟐 - 𝟒/𝟑 (𝟗) - 𝟐 + 𝟏/𝟖 (𝟏𝟔) - 𝟎 + 𝟔/𝟗 (𝟐𝟕) 

= 𝟏𝟐 - 𝟏𝟐 - 𝟐 + 𝟐 - 𝟎 + 𝟏𝟖 

= 𝟏𝟖

𝟏𝟗. 𝟏𝟐𝟓𝑏⁴𝑐 - 𝟗𝑑⁵ + 𝟑𝑎𝑏𝑐²𝑑 

حل

= 𝟏𝟐𝟓(𝟐⁴)(𝟑) - 𝟗(𝟎⁵) + 𝟑(𝟏)(𝟐)(𝟑²)(𝟎) 

= 𝟏𝟐𝟓(𝟏𝟔)(𝟑) - 𝟎 + 𝟎 

= 𝟔𝟎𝟎𝟎

اگر 

𝑎 = 𝟖, 𝑏 = 𝟐, 𝑐 = 𝟏, 𝒙 = 𝟗, 𝒚 = 𝟒 

ہو، تو درج ذیل کی قیمت معلوم کیجیے

𝟐𝟎. 𝟓/𝟑 𝑎 - 𝟏/𝟗 𝑏³ + 𝟕/𝟖 𝒚² 

حل

= 𝟓/𝟑 (𝟖) - 𝟏/𝟗 (𝟐³) + 𝟕/𝟖 (𝟒²) 

= 𝟒𝟎/𝟑 - 𝟖/𝟗 + 𝟕/𝟖 (𝟏𝟔) 

= 𝟒𝟎/𝟑 - 𝟖/𝟗 + 𝟏𝟒 

= (𝟏𝟐𝟎 - 𝟖) / 𝟗 + 𝟏𝟒 

= 𝟏𝟏𝟐/𝟗 + 𝟏𝟒 

= 𝟏𝟐 ⁴⁄₉ + 𝟏𝟒 

= 𝟐𝟔 ⁴⁄₉ (or 𝟐𝟑𝟖/𝟗)

𝟐𝟏. 𝟓/𝟐𝟕 𝑎(𝒙) - 𝟑𝟐 / 𝒚² - 𝟔𝑎/𝑐𝒙𝒚 

حل

= 𝟓/𝟐𝟕 (𝟖)(𝟗) - 𝟑𝟐/(𝟒²) - 𝟔(𝟖)/((𝟏)(𝟗)(𝟒)) 

= 𝟓/𝟐𝟕 (𝟕𝟐) - 𝟑𝟐/𝟏𝟔 - 𝟒𝟖/𝟑𝟔 

= 𝟒𝟎/𝟑 - 𝟐 - 𝟒/𝟑 

= (𝟒𝟎 - 𝟒)/𝟑 - 𝟐 

= 𝟑𝟔/𝟑 - 𝟐 

= 𝟏𝟐 - 𝟐 

= 𝟏𝟎

𝟐𝟐. 𝟑𝑎²𝑏/𝑐𝒙𝒚² - 𝟓𝒚/𝑎 

حل

= 𝟑(𝟖²)(𝟐)/((𝟏)(𝟗)(𝟒²)) - 𝟓(𝟒)/𝟖 

= 𝟑(𝟔𝟒)(𝟐)/((𝟗)(𝟏𝟔)) - 𝟐𝟎/𝟖 

= 𝟑𝟖𝟒/𝟏𝟒𝟒 - 𝟓/𝟐 

= 𝟖/𝟑 - 𝟓/𝟐 

= (𝟏𝟔 - 𝟏𝟓)/𝟔 

= 𝟏/𝟔

𝟐𝟑. ³√(𝟔𝑐𝒚⁴/𝒙²) + 𝟐√(𝟑𝑎³/𝟒𝑏³)) 

حل

= ³√(𝟔(𝟏)(𝟒⁴)/𝟗²) + 𝟐√(𝟑(𝟖³)/(𝟒(𝟐³))) 

= ³√(𝟔(𝟐𝟓𝟔)/𝟖𝟏) + 𝟐√(𝟑(𝟓𝟏𝟐)/(𝟒(𝟖))) 

= ³√(𝟏𝟓𝟑𝟔/𝟖𝟏) + 𝟐√(𝟏𝟓𝟑𝟔/𝟑𝟐) 

= ³√(𝟓𝟏𝟐/𝟐𝟕) + 𝟐√(𝟒𝟖) 

= 𝟖/𝟑 + 𝟐(𝟒√𝟑) 

= 𝟖/𝟑 + 𝟖√𝟑 (or 𝟐⅔ + 𝟖√𝟑)

𝟐𝟒. ³√(𝑏(𝒙)(𝒚)) - 𝟏/𝟖 𝑏² + 𝟖𝒙²/𝑏²𝒚 

حل

= ³√((𝟐)(𝟗)(𝟒)) - 𝟏/𝟖 (𝟐²) + 𝟖(𝟗²)/((𝟐²)(𝟒)) 

= ³√(𝟕𝟐) - 𝟏/𝟖 (𝟒) + 𝟖(𝟖𝟏)/((𝟒)(𝟒)) 

= 𝟐³√𝟗 - 𝟏/𝟐 + 𝟔𝟒𝟖/𝟏𝟔 

= 𝟐³√𝟗 - 𝟏/𝟐 + 𝟖𝟏/𝟐 

= 𝟐³√𝟗 + 𝟔𝟒/𝟐 

= 𝟐³√𝟗 + 𝟒𝟎

𝟐𝟓. 𝟑/𝟒 𝑎(𝑐) - √(𝑏²/(𝟗(𝒚))) - ³√((𝑏(𝒚))/𝒙²) 

حل

= 𝟑/𝟒 (𝟖)(𝟏) - √(𝟐²/(𝟗)(𝟒)) - ³√((𝟐)(𝟒)/𝟗²) 

= 𝟔 - √(𝟒 / 𝟑𝟔) - ³√(𝟖 / 𝟖𝟏) 

= 𝟔 - √(𝟏/𝟗) - 𝟐/³√𝟖𝟏 

= 𝟔 - 𝟏/𝟑 - 𝟐/(𝟑 ³√𝟑) 

= 𝟏𝟕/𝟑 - 𝟐/(𝟑 ³√𝟑) 

= 𝟓⅔ - 𝟐/(𝟑 ³√𝟑)

𝟐𝟔. 𝟓𝑏²𝒚³/𝟏𝟐𝑎²𝒙 - ³√(𝑎𝒙⁴)/(𝑏²𝒚²) + √(𝑎(𝑏³)/(𝟑(𝒙))) 

حل

= 𝟓(𝟐²)(𝟒³)/(𝟏𝟐(𝟖²)(𝟗)) - ³√((𝟖)(𝟗⁴)/((𝟐²)(𝟒²))) + √((𝟖)(𝟐³)/(𝟑)(𝟗)) 

= 𝟓(𝟒)(𝟔𝟒)/(𝟏𝟐)(𝟔𝟒)(𝟗) - ³√((𝟖)(𝟔𝟓𝟔𝟏)/(𝟒)(𝟏𝟔)) + √(𝟔𝟒/𝟐𝟕) 

= 𝟐𝟎/𝟏𝟎𝟖 - ³√(𝟓𝟐𝟒𝟖𝟖/𝟔𝟒) + 𝟖/(𝟑√𝟑) 

= 𝟓/𝟐𝟕 - ³√(𝟖𝟐𝟎 𝟏/𝟖) + 𝟖 / (𝟑√𝟑) 

= 𝟓/𝟐𝟕 - 𝟗/(𝟐 ³√𝟐) + 𝟖/(𝟑√𝟑)

___________________________________________

By Sohail Tahir.